Para el primero la necesidad del axioma de elección es esencial. Hay modelos de ZF tal que $A,B$ son conjuntos para los cuales existe surjections de $A$ a $B$ y viceversa, sin embargo, no hay bijection entre los conjuntos.
Usando el axioma de elección, podemos simplemente la inversa de los dos surjections y han inyecciones de $A$ a $B$ y viceversa, entonces podemos usar el Cantor-Bernstein para garantizar un bijection existe.
El segundo, supongo que debe ser $f\colon A\to B$ inyectiva y $g\colon A\to B$ surjective, de nuevo tenemos el axioma de elección para asegurarse de que no es un bijection, de hecho hay varios modelos sin ella donde tales conjuntos existen pero no hay bijection entre ellos. Usando el axioma de elección, invertimos el surjection y el uso de Cantor-Bernstein de nuevo.
Cabe señalar que sin el axioma de elección es cierto que si $f\colon A\to B$ es inyectiva entonces no es $g\colon B\to A$ surjective. Por lo tanto, si el primer enunciado es verdadero, también lo es la segunda, y si la segunda es falsa, entonces también lo es la primera.
Otro punto interesante en este tema es este: La Partición Principio dice que si no es $f\colon A\to B$ surjective entonces existe un inyectiva $g\colon B\to A$. Tenga en cuenta que nosotros no requerimos que $f\circ g=\mathrm{id}_B$, sino simplemente que esa inyección existe.
Este principio implica que los estados financieros, y está claramente implícita por el axioma de elección. Está abierto durante más de un siglo de si o no este principio es equivalente al axioma de elección o no.
Por último, como se indicó $f\colon A\to B$ inyectiva y $g\colon B\to A$ surjective no puede garantizar un bijection entre el $A$ $B$ con o sin el axioma de elección. De hecho, el mapa de identidad es inyectiva de a $\mathbb Z$ a $\mathbb R$, así como la función del suelo, $x\mapsto\lfloor x\rfloor$ es surjective de$\mathbb R$$\mathbb Z$, pero no hay bijection entre el$\mathbb Z$$\mathbb R$.
