¿Existe la posibilidad de un número infinito de decimales?
Supongo que estamos hablando de números al menos racionales. Si es así, entonces todos los números del intervalo $(24,25)$ tienen infinitos dígitos en su expansión decimal. En el caso de los números racionales, todos se repiten a partir de algún punto. Los ejemplos son $24.8999\ldots, 24.375000\ldots, 24.245678678678\ldots.$ Sin embargo, y mucho más, abundan los números irracionales, por ejemplo $24.5055055505555055555\ldots$ que tiene un patrón, y $24.86382649403204847293746620846291646490163038\ldots,$ que espero que no lo haga.
Si lo hubiera, eso implicaría que se podría generar una cantidad infinita de números, sin llegar nunca a 25.
Sí, en efecto. Llamamos a esto la propiedad de la densidad de los números racionales y, en general, de los números reales (que incluyen los irracionales). Es decir, entre dos números reales cualesquiera siempre hay un número real, lo que significa que hay infinitos. Por ejemplo, si $r$ y $s$ son números reales tales que $r<s$ entonces tenemos el número real $$x={r+s\over2}$$ satisfaciendo $r<x<s$ . Así que los reales son muy diferentes de los enteros, ¿no?
Y si es así, ¿qué tipo de operación podría aplicarse para crear dicho patrón?
No sé a qué te refieres. Pero si te refieres simplemente a una forma de generar cualquier número real entre dos distintos, entonces la receta del párrafo $2$ La anterior es una; hay otras. Pero si te refieres a la construcción de números reales en forma decimal, entonces puedes hacer sólo unos pocos, ya que infinitamente muchos de ellos no muestran ningún patrón en sus dígitos, por lo que sabemos. Por ejemplo, la expansión decimal de $$ no ha mostrado ningún patrón hasta ahora.
PS. El estudio de los números reales (y complejos) es el foco fundacional del campo matemático conocido como análisis. Hay muchas más propiedades que $\mathbb R$ tiene que lo hace más interesante que $\mathbb Q$ . Si estudias este tema más adelante, aprenderás más. Buena suerte.
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Cada número $\gamma$ en base 10 se puede representar como: $\gamma = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n 10^n, a_n\in \{0,...,9\}$ Así que sí, hay un número infinito de decimales.