Isomorfo variedades

Question

Yo sólo quiero ver si mi enfoque para este problema está muy bien:

Espectáculo $W=\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ no es isomorfo a $W'=\mathbb{P}^2.$

Bien $V= \{ [0:1] \} \times \mathbb{P}^1, V' = \{ [1:0] \} \times \mathbb{P}^1$ están cerrados subvariedades de $W$ cada isomorfo a$\mathbb{P}^1$, por lo que cada uno de dimensión $1.$ $W$ tiene dos dimensiones 1 cerrado subvariedades que no se cruzan, mientras que $W'$ no (cualquiera de los dos proyectiva del plano de curvas se cruzan) y por lo tanto no son isomorfos.

Edit: Isomorfo, como las variedades.

Answer 1

El argumento parece bien, aunque se debe aclarar qué clase de objetos que están trabajando en: variedades algebraicas? las variedades? Tenga en cuenta que no son siquiera homeomórficos (o incluso homotopy equivalente) como espacios topológicos, ya $H_2(W;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^2$ mientras $H_2(W';\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$. El mismo argumento se puede afirmar con $\pi_2$ en lugar de $H_2$; algunas personas piensan que los grupos de $\pi_i$ son más fáciles de definir que $H_i$.