El "conjunto de todos los mundos posibles", etc.

Question

El siguiente es un extracto de un altamente respetado de papel (Angélica Kratzer, Modales y Condicionales: Nuevos y Revisados Perspectivas, capítulo 1 "¿Qué Puede y Debe y Puede Significar") (el énfasis es mío):

En la semántica de los mundos posibles supuesto, las proposiciones son identificados con los conjuntos de mundos posibles. Si $W$ es el conjunto de mundos posibles, el conjunto de proposiciones es $P(W)$—el juego de poder de $W$.

¿Es válido hablar de un conjunto de algo tan poco definido como "mundos posibles" (por no hablar de su juego de poder)?

Quiero decir, podemos seguir con "el conjunto de todos los excitantes pesadillas", y "el conjunto de todos los engañosamente simple buffalo-ala recetas", y en, y en, y en, y por lo tanto manto de la más extravagantes ideas con una apariencia de rigor formal...

Hay algo en el estándar de la teoría de conjuntos para evitar este tipo de tonterías?

Answer 1

En lógica modal utilizamos el término "mundos posibles" para describir un conjunto de "vértices", con una accesibilidad relación con la definición de "bordes". Los mundos posibles son sólo un término para algunos de $W$ que queremos identificar como la nuestra se enmarcan en el contexto de la semántica de Kripke. Cuando definimos una valoración en ese marco se obtiene un modelo que tiene ciertas modal fórmulas que se están satisfechos, dependiendo de la estructura de los vértices y aristas (en la teoría de grafos sentido).

Formalmente, $\mathcal{F} = \langle W,R \rangle$ es un marco, donde $R \subseteq W \times W$, e $\mathcal{M} = \langle W,R, \text{Val}\rangle$ es un modelo en $\text{Val}: \text{Var} \times W \rightarrow \{0,1\}$ es una valoración de la función que envía proposiciones en el conjunto $\text{Var}$ a $w \in W$ a un valor de verdad (también podemos definir las probabilidades de que una modal fórmula se satisface en un mundo considerando una valoración de la función con los valores que se asignan a la intervalo de $[0,1]$). Dependiendo de la estructura de la accessbility relación $R$, podemos tener diferentes modal axiomas satisfecho en el modelo.

Por ejemplo, considere el modal axioma $B = p \rightarrow \Box \Diamond p$. Si tenemos que $\mathcal{M}_{w} \vDash B$, $\forall w \in W$, que se lee como "el modelo de $\mathcal{M}$ hace verdaderas $B$, en todos los mundos posibles", decimos que $\mathcal{F} \vDash B$, que es el $B$ está satisfecho en el marco de $\mathcal{F}$. En este caso, la satisfacción de las $B = p \rightarrow \Box \Diamond p$ en todos los mundos posibles se asegura de que la accesibilidad a la relación $R$ es simétrica, es decir, $w R w' \Rightarrow w' R w, \forall w,w' \in W$. Podemos caracterizar modal marcos por la satisfacción de modal axiomas en este camino y dar una interpretación de las ideas filosóficas frases tales como "es posible que $\varphi$" y "$\psi$."

En resumen, $W$ es sólo el conjunto de vértices de un grafo y lógica modal estudios de las satisfacciones de modal fórmulas y otras propiedades de los marcos y modelos. Probablemente debería mencionar que las siguientes son las definiciones formales de posibilidad y necesidad.

$\mathcal{M}_{w} \vDash \Diamond \varphi \Leftrightarrow \exists (w,w') \in R \; | \; \mathcal{M}_{w'} \vDash \varphi$

$\mathcal{M}_{w} \vDash \Box \varphi \Leftrightarrow \forall (w,w') \in R \; | \; \mathcal{M}_{w'} \vDash \varphi$

Podemos definir otras modalidades de una manera similar, por lo tanto la generalización de la lógica temporal, lógica epistémica, y otros interesantes tipos de lógica. He aquí una bonita imagen que me hizo, que da un ejemplo de un modelo con una orientación (un grafo dirigido hacia arriba, como esta es la que representa la lógica temporal).

Answer 2

$\def\diamond{\diamondsuit}$ Lógica Modal se refiere a la lógica de los llamados "operadores modales", a menudo "necesariamente verdadero" y "posiblemente verdadero", que son simbolizados con $\square$ $\diamond$ respectivamente.

La idea es que, aunque es cierto que George Bush fue el presidente número 43 de los Estados unidos, no es necesariamente cierto, porque uno puede fácilmente imaginar un poco diferente al mundo en el que Al Gore fue presidente en su lugar-que era la más cercana de las elecciones cerca. Teniendo en cuenta las declaraciones:

$$ B = \text{El 43º presidente de la era Bush}\\ G = \text{El 43er presidente fue Gore} $$

Podemos decir de manera inequívoca que el $B$ es verdadera y $G$ es falso. Pero también podemos decir que el $B$ no es necesariamente cierto; que es $\lnot\square B$, o, equivalentemente, que es posible que $B$ podría haber sido falso: $\diamond\lnot B$. Y se podría decir que el $G$ es posiblemente cierto; que es $\diamond G$, o, equivalentemente, que el $G$ no es necesariamente falso; es $\lnot\square\lnot G$.

Por otro lado, si tenemos en cuenta la declaración:

$$ P = \text{$131$ is a prime number} $$

no podemos razonablemente pensar de un mundo posible en el que $P$ es falso, por lo que podríamos decir que $P$ es "necesariamente" true; es $\square P$, o, equivalentemente, que no es posiblemente falso: $\lnot\diamond\lnot P$.

Ahora, cualquier estudiante de segundo año de filosofía podría discutir durante horas sobre si era realmente posible para Gore, el haber sido elegido presidente en el año 2000 o si es necesariamente cierto que 131 es un número primo. Así que evitar esos argumentos acerca de lo que "necesariamente verdadero" y "mundo posible" realmente significa y considerar la posibilidad de una generalización. En la generalización, consideramos que algunos de $W$ de los estados, algunos de los "mundos posibles". Y decimos que algunos de estos mundos son "accesibles" de los otros: por ejemplo, nos gustaría decir que antes de las elecciones del 2000, era posible que el Gore hubiera sido el presidente número 43, y después de las elecciones, ya no fue posible. Nuestro set $W$ podría incluir un estado de $E$ antes de la elección, y un estado de $B$ donde Bush había sido elegido, y un estado de $G$ donde Gore había sido elegido, y entonces podríamos decir que el $G$ es accesible desde $E$, pero no de $B$; nos encontramos ahora en $B$. Una vez que hemos elegido la "accesibilidad" de la relación, que se "$\diamond S$ que es verdad en el mundo de la $W$" significa que "existe cierta mundo,$W'$, accesible desde $W$, en el que $S$ es verdadero". Y tomamos "$\square S$ que es verdad en el mundo de la $W$" que significa "Para todo mundo,$W'$, accesible desde $W$, es el caso de que $S$ es verdadero".

La idea no es tratar de construir un "conjunto de todos los mundos posibles", que estoy de acuerdo con usted, podría ser filosóficamente y matemáticamente incoherente. Todo lo que estamos haciendo es seleccionar un conjunto razonable de los mundos a considerar, para el propósito de entender los comportamientos de los operadores modales como$\square$$\diamond$.

Se desarrolla de que esto es una cosa interesante que hacer! Ciertos intuitivamente razonable axiomas para los operadores modales corresponden naturalmente a ciertas condiciones simples en el "accesible" de la relación. Por ejemplo, considere la muy razonable axioma de que la $\square p\to p$. Este dice que si $p$ es necesariamente cierto en algún mundo,$W$, entonces la verdad en $W$. Este axioma tiene exactamente si la accesibilidad de la relación es reflexiva; es decir, si $W$ es accesible desde sí mismo para cada mundo posible, $W$ bajo consideración.

De igual modo uno le gusta considerar operadores modales como "podría ser verdad en el futuro" y "era falso en el pasado", donde la accesibilidad a la relación que se entiende generalmente para representar la evolución de los tiempos; "es conocido para ser verdad", "es demostrable", y "es consistente con ZF"; "está permitido", y así sucesivamente. Cada uno de estos tiene diferentes propiedades, y se formaliza mediante diferentes axiomas, y da lugar a un tipo diferente de la accesibilidad de las relaciones en los mundos posibles. Las intuiciones acerca de los significados de los operadores modales ayudar a informar a las intuiciones acerca de la accesibilidad de las relaciones, y viceversa.

Pero, de nuevo, los "mundos posibles" no representan a la totalidad del universo. Son sólo abstracciones que tienen ciertas simplificado de las relaciones que nos permiten captar las características interesantes de los operadores lógicos. De esta manera ellos no son diferentes de otras abstracciones matemáticas.

Espero que esto aclare algo para usted.