Calcular la integral

Question

He estado tratando de resolver esta integral que surge en un problema del libro Fundamentals of Differential Equations Nagle, Saff and Snider (8ª edición - sitio 193-17). $$\int\frac{e^x \sin(2x)}{\cos^2(2x)}\mathrm{d}x$$ El "progreso" que hice está abajo.

$$\int\frac{e^x \sin(2x)}{\cos^2(2x)}\mathrm{d}x = \int\frac{e^x 2\sin(x)\cos(x)}{(cos^2(x)-sin^2(x))^2}\mathrm{d}x=\int\frac{e^x 2\sin(x)\cos(x)}{(\cos(x)-\sin(x))^2(\cos(x)-\sin(x))^2}\mathrm{d}x=\int\frac{e^x 2\sin(x)\cos(x)}{(1 +2\cos(x)\sin(x))(1-2\cos(x)\sin(x))}\mathrm{d}x$$

también la si tomas la siguiente derivada (obtienes algo interesante) $$ u = e^x sec(2x) $$ $$ du = e^x sec(2x) + \frac{2e^x \sin(2x)}{\cos^2(2x)} $$

EDITAR: El probem original es resolver este E.D. con el método de variación de parámetros. $$y'' +4y = 2tan(2x)-e^x$$ La solución dada en los libros de texto es : $$c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)-\frac{e^x}{5} - 0.5(\cos(2x))ln|\sec(2x)+\tan(2x)|$$

También los resultados que obtuve fueron $$v_1' = -\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}+\frac{e^x\sin(2x)}{\cos^2(2x)}$$ $$v_2' = \sin(2x) - 0.5e^x\cos(2x)$$

Answer 1

Si resuelve $y+4y=2\tan2x$ y $y+4y=e^x$ por separado y luego sumar las soluciones utilizando la linealidad se obtiene el resultado correcto.

Answer 2

Utilizando $\bigg(\dfrac1f\bigg)'=-\dfrac{f'}{f^2}$ con respecto a $f=\cos2x$ e integrando por partes, entonces empleando

el hecho de que $\displaystyle\int\frac{dx}{\cos2x}=\frac12~\ln\tan\bigg(x+\frac\pi4\bigg)=\dfrac{\ln\sin t-\ln\cos t}2$ donde $t=x+\dfrac\pi4$ , nosotros

se quedan con establecer si $\displaystyle\int e^t\ln\sin t~dt$ y $\displaystyle\int e^t\ln\cos t~dt$ puede ser expresado en

forma cerrada . Esto, sin embargo, parece muy poco probable, ya que otra integración por partes resulta

en $\displaystyle\int e^t\tan t~dt$ y $\displaystyle\int e^t\cot t~dt$ En ese momento se hace cada vez más evidente que lo que

son realmente tratando de resolver es la ecuación diferencial $y~'=2\tan(2x)\color{red}\cdot e^x$ en lugar de la

usted fue en realidad dado.