Es el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son irracional o racional conectado?
Respuesta
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Deje $S$ ser su conjunto, y supongamos $S = U \cup V$ donde $U$ $V$ son distintos, y son a la vez abiertos y cerrados en $S$. Tenga en cuenta que si $x$ $y$ son racionales, entonces las líneas diagonales $\{(x+t, y+t): t \in {\mathbb R}\}$ $\{(x+t,y-t): t \in {\mathbb R}\}$ son subconjuntos de a $S$. Mediante una ruta de acceso de la diagonal de segmentos de línea, es posible obtener a partir de cualquier punto de ${\mathbb Q} \times {\mathbb Q}$ a cualquier otro mientras se alojan en $S$. Por lo tanto, uno de los $U$$V$, vamos a decir $U$, contiene todos los de ${\mathbb Q} \times {\mathbb Q}$. Pero ${\mathbb Q} \times {\mathbb Q}$ es denso en $S$, e $U$ es cerrado en $S$$U = S$.
Para más información, muestran que $S$ es la ruta de acceso conectado. De hecho, si $a < b$$c < d$$(a,c)$$(c,d)$$S$, hay un continuo aumento de la función $f: [a,b] \to [c,d]$ tal que $f(x)$ es racional si y sólo si $x$ es racional.
