Feller del WLLN dice $X_n$ son yo.yo.d y deje $S_n=\sum X_i$. A continuación, $\exists C_n$(finito) de tal manera que
$$\frac{S_n-C_n}{n}\overset{P}{\rightarrow} 0 \hspace{10pt} \iff nP({X_1}>n)\rightarrow 0$$
En tal caso,$\frac{C_n}{n}=E(X_1I\{|X_1|\leq n\})+o(1)$.
Prueba de Kolmogorov del SLLN dice $X_n$ son yo.yo.d y deje $S_n=\sum X_i$.Entonces
$$\frac{S_n}{n}\overset{a.s.}{\rightarrow} c \hspace{10pt}\text{for some finite c}\hspace{10pt}\iff X_1\in L_1$$
En tal caso, necesariamente,$c=E(X_1)$.
Resultado: $X\in L_p \Rightarrow n^pP(|X_1|>n^{1/p})\rightarrow 0$. Pero la contrapartida NO ES CIERTO!
Por lo tanto $X_1\in L_1$ significa que podemos aplicar SLLN y WLLN ambos. El ejemplo siguiente muestra WLLN tiene pero no SLLN
Deje $X_n$ i.yo.d con la densidad de $f(x)=\frac{c}{x^2\log{|x|}} I\{|x|>e\}$. Mostrar que $E(X^{+})=\infty=E(X^{-})$ lo que implica $E(X)$ no existe. No podemos aplicar SLLN. Pero no es difícil mostrar $nP(|X_1|>n)=o(1)$. Por lo tanto, por WLLN hemos
$$\frac{S_n}{n} -E(X_1I\{|X_1|\leq n\})\overset{P}{\rightarrow} 0$$
Desde $X_1$ es simétrica a la anterior expectativa es $0$, es decir,$\frac{S_n}{n}\overset{P}{\rightarrow} 0$.
En este ejemplo también se puede mostrar
$$\limsup \frac{S_n}{n}=\infty \hspace{10pt}\text{and}\hspace{10pt}\liminf \frac{S_n}{n}=-\infty\hspace{3pt}\text{almost surely}$$
Por lo tanto, es claramente falso que $\frac{S_n}{n}\overset{a.s.}{\rightarrow} 0$.