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¿Por qué la ley débiles de gran número todavía vivo?

Conozco la diferencia entre WLLN y SLLN en términos de un tipo de convergencia. Entonces, como se revela en cualquier estadística de libros de texto diciendo condiciones suficientes para dos teoremas son los mismos, creo que no necesitamos WLLN más. También sé que hay algún ejemplo para que WLLN tiene pero SLLN no. Luego, a partir De este ejemplo tendríamos necesarios para establecer otra de las condiciones necesarias sólo para SLLN, todavía no pude encontrar ninguna explicación para esto.

¿Hay alguien que explicar diferencia entre WLLN y SLLN en términos de este problema?

Gracias!

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Saty Puntos 493

Feller del WLLN dice $X_n$ son yo.yo.d y deje $S_n=\sum X_i$. A continuación, $\exists C_n$(finito) de tal manera que $$\frac{S_n-C_n}{n}\overset{P}{\rightarrow} 0 \hspace{10pt} \iff nP({X_1}>n)\rightarrow 0$$ En tal caso,$\frac{C_n}{n}=E(X_1I\{|X_1|\leq n\})+o(1)$.

Prueba de Kolmogorov del SLLN dice $X_n$ son yo.yo.d y deje $S_n=\sum X_i$.Entonces $$\frac{S_n}{n}\overset{a.s.}{\rightarrow} c \hspace{10pt}\text{for some finite c}\hspace{10pt}\iff X_1\in L_1$$ En tal caso, necesariamente,$c=E(X_1)$.

Resultado: $X\in L_p \Rightarrow n^pP(|X_1|>n^{1/p})\rightarrow 0$. Pero la contrapartida NO ES CIERTO!

Por lo tanto $X_1\in L_1$ significa que podemos aplicar SLLN y WLLN ambos. El ejemplo siguiente muestra WLLN tiene pero no SLLN

Deje $X_n$ i.yo.d con la densidad de $f(x)=\frac{c}{x^2\log{|x|}} I\{|x|>e\}$. Mostrar que $E(X^{+})=\infty=E(X^{-})$ lo que implica $E(X)$ no existe. No podemos aplicar SLLN. Pero no es difícil mostrar $nP(|X_1|>n)=o(1)$. Por lo tanto, por WLLN hemos $$\frac{S_n}{n} -E(X_1I\{|X_1|\leq n\})\overset{P}{\rightarrow} 0$$ Desde $X_1$ es simétrica a la anterior expectativa es $0$, es decir,$\frac{S_n}{n}\overset{P}{\rightarrow} 0$.

En este ejemplo también se puede mostrar $$\limsup \frac{S_n}{n}=\infty \hspace{10pt}\text{and}\hspace{10pt}\liminf \frac{S_n}{n}=-\infty\hspace{3pt}\text{almost surely}$$

Por lo tanto, es claramente falso que $\frac{S_n}{n}\overset{a.s.}{\rightarrow} 0$.

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