Oscilador amortiguado: inversión del tiempo, traslación del tiempo y disipación

Question

La ecuación de movimiento de un oscilador amortiguado $$\frac{d^2x}{dt^2}+\gamma\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0$$ que es invariante bajo la traslación temporal $t\rightarrow t+a$ pero no bajo la inversión del tiempo $t\rightarrow -t$ . También encontramos que este sistema no conserva la energía. Sin embargo, sabemos por la mecánica clásica que la invarianza de la traslación del tiempo está relacionada con la conservación de la energía y no con la inversión del tiempo. ¿Por qué el sistema disipa energía?

La invarianza temporal está relacionada con la reversibilidad, y según tengo entendido no con la disipación directamente.

Answer 1

Para aplicar el teorema de Noether, que es a lo que aludes aquí, hay que mirar las simetrías continuas de un Lagrangiano descripción de la dinámica de un sistema.

La ecuación de oscilación amortiguada que has escrito, aunque es invariante respecto a una traslación temporal como bien dices, no es una descripción lagrangiana. Si escribes la lagrangiana para este sistema, verás que no es invariante respecto al desplazamiento temporal, por lo que esta falta de simetría es donde tu argumento implícito ("mi descripción no depende del tiempo $\rightarrow$ la energía se conserva") se rompe.

Algunos Los sistemas disipativos tienen descripciones lagrangianas, pero siempre terminan con lagrangianos variables en el tiempo, por lo que no hay contradicción con el teorema de Noether: Véase la respuesta de Joseph Johnson y el enlace para leer sobre algunos intentos históricos interesantes de ampliar la noción lagrangiana a todos los sistemas aquí .

Por cierto, si quieres modelar este tipo de cosas en mecánica cuántica, una forma de hacerlo es incrustar tu oscilador en un enorme conjunto de osciladores de mecánica cuántica acoplados en el que tu oscilador inicialmente excitado está acoplado débilmente a todos los demás. El sistema en su conjunto varía unitariamente con el tiempo, por lo que no hay disipación global, pero si un oscilador comienza en un estado elevado con todos los demás en su estado básico, la amplitud para encontrar el oscilador en su estado excitado disminuye exponencialmente con el tiempo y la energía se distribuye inexorablemente por todo el sistema de osciladores: una bonita ilustración de un sistema simple macroscópicamente "irreversible" (pero microscópicamente reversible). También se puede hacer lo mismo en teoría con un oscilador armónico clásico: incrustarlo en un enorme sistema de osciladores y acoplarlo débilmente a una enorme reserva de otros: ocurre lo mismo. El oscilador por sí solo sigue una ecuación amortiguada, aunque el sistema completo no sea disipativo.

Answer 2

La conservación de la energía está relacionada con la invariabilidad de la traslación del tiempo para sistemas que pueden ser descritos por un Lagrangiano . Los sistemas disipativos en general no son describibles por la mecánica lagrangiana (sin alterar el formalismo que es) y por lo tanto no se puede aplicar el teorema de Noether para comprobar si la energía se conserva o no.

EDIT: el sistema disipativo al que se refiere el OP admite lagrangianos que permiten recuperar la ecuación de movimiento correcta como señala Valter Moretti, pero entonces las hipótesis bajo las que se cumple el teorema de Noether no se cumplen con tales lagrangianos.