¿Qué significan los números G_4 y G_6 de una red de medir?

Question

Si usted tiene un entramado $L \subset \mathbb{C}$, usted puede calcular los siguientes números:

$ G_4(L) = \sum_{\omega \L, \omega \neq 0} \frac{1}{\omega^4}, \quad G_6(L) = \sum_{\omega \L, \omega \neq 0} \frac{1}{\omega^6}. $

Por un "entramado", me refiero sólo a un cerrado discretos aditivo no trivial subgrupo de $\mathbb{C}$ (lo estoy permitiendo degenerados celosías como $\mathbb{Z}$). De todos modos, estos números son importantes invariantes de la red, debido a que se creó un bijection

{${ \mbox{Lattices in }\mathbb{C}\}$} $\rightarrow$ {$\mathbb{C}^2 \- 0$}

$L \mapsto (G_4(L), G_6(L))$.

Pero ¿qué mide realmente acerca de la celosía, geométricamente? Algún tipo de combinación de ángulos? En alguna área? Estoy confundido. Tenemos estos números que acostumbrarse más y más, pero ¿qué es lo que realmente medir?

Supongo que una respuesta posible es: considerar la superficie de Riemann (torus) $\mathbb{C} / \Lambda$. A continuación, $G_4$ $G_6$ puede ser recuperado como cierto período de las integrales a lo largo de la fundamental de los ciclos de la curva elíptica. Es ese derecho? Es allí una manera más directa geométricas comprensión de $G_4$$G_6$?

Answer 1

Voy a tratar de complementar Emerton la respuesta. Deje $M_{2k}$ $S_{2k}$ denotan, respectivamente, el vector de espacios modulares y la cúspide de las formas de peso $2k$; a partir de la definición de la cúspide de las formas, se sigue que $S_{2k}$ es un subespacio de codimension 1 en $M_{2k}$. Desde $G_{2k}$ es modular, pero no a la cúspide forma, tenemos la descomposición (por $k \ge 2$) $M_{2k} = S_{2k} \oplus \mathbb{C}G_{2k}$. En particular, $M_{2k} = \mathbb{C}G_{2k}$$2 \le k \le 5$.

Answer 2

Que yo sepa) $G_4$ $G_6$ no tienen una directa interpretación geométrica del tipo que usted está buscando. Más bien, aparecen como coeficientes en la ecuación algebraica para $\mathbb C/\Lambda.$ Más precisamente, a la par $(\mathbb C/\Lambda, dz)$ consiste en el complejo de torus $\mathbb C/\Lambda$, y el de todas partes-holomorphic diferencial de la forma $dz$ es isomorfo a la par $(E,dx/y),$ donde $E$ es el buen complejo proyectiva de la curva de corte por parte de la ecuación homogénea asociados a) la ecuación de $y^2 = 4 x^3 - 60 G_4(L) x - 140 G_6(L).$ (Aquí la letra de la $E$ es para "elíptica".)

Como usted probablemente sabe, esto es más o menos el contenido de la teoría de la Weierstrass las funciones elípticas.

En resumen: celosías en $\mathbb C$ son la misma cosa, como curvas elípticas sobre ${\mathbb C}$ equipado con una opción de la no-cero holomorphic diferencial (via $\Lambda \mapsto (\mathbb C/\Lambda, dz)$, and the quantities $G_4$ and $G_6$ dar una fórmula explícita por esta correspondencia, mediante la descripción de los coeficientes de la ecuación algebraica de la correspondiente curva elíptica.