Dos secuencias son las subsecuencias de uno a otro, uno converge. ¿Son lo mismo?

Question

Deje $a_n$ convergen a una. Deje $b_n$ ser un subsequence de $a_n$ $a_n$ ser un subsequence de $b_n$. ¿Son lo mismo?

He tratado de mostrar que ellos están por la contradicción, la de Bolzano-Weierstrass teorema parece relevante, pero no veo donde. No puedo ver ningún contador de ejemplo, pero no parece ser cierto patrón de por qué ejemplos a fallar, pero no puedo verla.

Extracción de la restricción de $a_n$ convergentes parece permitir el contador de ejemplos que parecen alternativo, si podía demostrar que todas las alternativas, a continuación, se llevaría a cabo como la alternancia de la serie no converge.

Sugerencias sería muy bienvenida!

Answer 1

Supongamos por contradicción que $a_1 \ne b_1$. Desde $a_n$ es una larga de $b_n$, existe un $c_1>1$ s.t. $a_1=b_{c_1}$. Para cada una de las $i=\{1,...,c_1\}$ existe $n_i>i$ s.t. $a_{n_i}=b_i$, debido a $b_n$ es una larga de $a_n$. Deje $c_2=n_{c_1}$. Ahora, para cada una de las $i=\{1,...,c_2\}$ existe $n_i>i$ s.t. $b_{n_i}=a_i$. Deje $c_3=n_{c_2}$. Y así sucesivamente.

Tenga en cuenta que $1<c_1<c_2<c_3<...$ y también que $a_1=b_{c_1}=b_{c_3}=...$. Por lo $b_n$ tiene un convergentes larga con límite de $a_1$.

Del mismo modo, (a partir de $b_1$), llegamos a que $b_n$ tiene un convergentes larga con límite de $b_1$. Que contradice $a_1 \ne b_1$, ya que el $b_n$ es convergente así. Así que tenemos $a_1=b_1$.

Ahora, teniendo en cuenta las secuencias de partida en $a_2$ $b_2$ y así sucesivamente, obtenemos que $a_n=b_n$ todos los $n$.

Answer 2

Definición de Una secuencia $b_n$ se dice que es una larga de una secuencia $a_n$ fib existe una estrictamente creciente en función $\phi\ :\ \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $b_n=a_{\phi\left(n\right)}$ por cada $n\in\mathbb{N}$.

La prueba Deje $a_n,b_n$ ser una larga de cada uno de los otros. Entonces, existen estrictamente creciente de las funciones de $\phi,\varphi\ :\ \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $a_n=b_{\phi(n)}$ $b_n=a_{\varphi(n)}$ por cada $n\in\mathbb{N}$. Para cada $n\in\mathbb{N}$, $$a_n=b_{\phi(n)}=a_{\varphi(\phi(n))} \ \mathrm{and}\ b_n=a_{\varphi(n)}=b_{\phi(\varphi(n))}.$$ A partir de esto, conseguimos $\varphi\circ\phi=I=\phi\circ\varphi$; por lo tanto, podemos escribir la $\varphi=\phi^{-1}$. Lo que esto nos dice es que las funciones $\varphi$ $\phi$ son bijective.

Suponga que $\varphi$ no es la identidad de la función en $\mathbb{N}$, es decir, existe un número natural, decir $n_0$, de tal manera que $\varphi(n_0)\neq n_0$. Set $\mathbb{N}_x=\{n\in\mathbb{N}\ |\ n<x\}$. Se desprende de lo $\varphi(n_0)\neq n_0$ que los conjuntos de $\mathbb{N}_{n_0}$ $\mathbb{N}_{\varphi(n_0)}$ han finito pero diferentes cardinalidades. Es bien sabido que la función de $\varphi^*\ :\ \mathbb{N}_{n_0}\rightarrow\varphi(\mathbb{N}_{n_0})$ definido por $$\varphi^*(n)=\varphi(n)\mathrm{\ for\ each\ }n\in\mathbb{N_{n_0}}$$ is bijective. Since the function $\varphi$ es estrictamente creciente, tenemos \begin{array}{rcl} \varphi(\mathbb{N}_{n_0})&=&\{\varphi(n)\in\mathbb{N}\ |\ n<n_0\}\\ &=&\{\varphi(n)\in\mathbb{N}\ |\ \varphi(n)<\varphi(n_0)\}\\ &=&\mathbb{N}_{\varphi(n_0)} \end{array} lo que contradice los conjuntos de $\mathbb{N}_{n_0}$ $\mathbb{N}_{\varphi(n_0)}$ tener finito pero diferentes cardinalidades. Por lo tanto, $\varphi=I$$(a_n)=(b_n)$.