Lo que está mal en esta prueba de $10$ es un solitario número?

Question

Amistoso números de dos o más números naturales con un común abundancia, la relación entre la suma de los divisores de un número y el número en sí. Dos números con la misma abundancia formar una amable pareja. Un número que no es parte de ningún amistoso par es llamado solitario. I have found a very elementary proof of 10 being a solitary number which is an open problem. So I would like to find a mistake in my proof. Deje $\sigma(n)$ es la suma de la función de divisor.

Para $10$ tener un acogedor par tenemos que encontrar otra solución a $$\sigma(5x)=9x$$ $$6 \ \sigma(x) = 9x \ \text{(Assuming (5,x)=1)}$$ $$2\ \sigma(x)=3x$$ Ahora Vamos a $x=2^kp$ donde $p \in \mathbb{N}$ ,$(p,z)=1$ $$2(2^{k+1}-1) \sigma(p)=3 \cdot 2^kp$$ $$\frac{\sigma(p)}{p}=\frac{3 \cdot 2^{k-1}}{2^{k+1}-1}$$ Ahora como cualquier número tiene al menos dos factores primos de uno y por lo tanto , $$\frac{\sigma(p)}{p}>1$$ $$ \implies3 \cdot 2^{k-1}>2^{k+1}-1$$ Que puede ser mostrado imposible para $k>0$.

Ahora supongamos que $x$ es en la forma $x=5^t2^kq$ $$\frac{2(5^{t+1}-1)(2^{k+1}-1) \sigma(q)}{4}=3 \cdot 5^t \cdot 2^k \cdot q$$ $$(5^{t+1}-1)(2^{k+1}-1) \sigma(q)=3 \cdot 5^t \cdot 2^{k+1} \cdot q$$ $$\frac{\sigma(q)}{q}=\frac{3 \cdot 5^t \cdot 2^{k+1} }{(5^{t+1}-1)(2^{k+1}-1)}$$ Que al proceder como en el anterior, es decir. por el hecho de $\frac{\sigma(q)}{q}>1$ se demuestra que no es posible.

Por lo tanto no hay amistosos par de $10$ es posible. Por lo tanto $10$ es solitario.

Answer 1

Aquí está el principal problema. Primero de todos, ya que:

$$\frac{\sigma(10)}{10} = \frac{\sigma(2)\sigma(5)}{10} = \frac{(1+2)(1+5)}{10} = \frac{18}{10} = \frac95$$

un hipotético amigo $x\in\mathbb{N}$ $10$ debe satisfacer:

$$\frac{\sigma(x)}{x}=\frac95$$

Usted busca para $2\sigma(x)=3x$ que es mala. En su primera ecuación el "5" en el interior de la $\sigma$ función cuando debería estar en el exterior. Por lo tanto, "5" se convierte en "6" en la prueba de intentar que está mal. El irrelevante ecuación de $\frac{\sigma(x)}{x}=\frac32$ es resuelto por $x=2$ solamente, por el camino. El hecho de que $2$ es solitario no es nuevo.

Answer 2

Yo creo que el problema radica en que la última parte de la prueba. La suma de los factores de q sobre q es, definitivamente, más de 1. Recuerde que la suma de factores que incluyen la q como un factor. Por lo tanto, la suma de los factores de q sobre q debe ser más de 1 y un amigo es todavía posible.

Answer 3

Observe que la primera parte es sencilla y correcta, aunque faltan algunos detalles. En esta parte se demuestra simplemente que 10 no puede dividir su amigo(s).

En la segunda parte, a la conclusión de que el resultado tiene se basa en la suposición de que $k$ (el exponente de 2) es distinto de cero. Permitiendo $k=0$, el lado derecho de la misma ecuación se convierte en $$\frac{6\cdot5^{t}}{5^{t+1}-1}$$, que es definitivamente mayor que 1.

Un segundo error en la segunda parte es en la instalación. Específicamente, se utiliza el $$2\sigma(x)=3x$$ setup in a way that was unjustified, since it hinged on $(5,x)=1$. The proper setup for the second part would be $$\frac{(2^{k+1}-1)(5^{t+1}-1)\sigma(q)}{4\cdot2^k5^tq}=\frac{9}{5}$$ since this is what happens when $5|x$.