Buscando una prueba directa del siguiente ejercicio

Question

Un amigo mío me comentó el siguiente problema:

Dejemos que $\{r_n\}$ sea una secuencia de números racionales tal que $\lim_{n\to\infty}r_n=x\in\Bbb R,$ $r_n\neq x,$ por cada $n\in\Bbb N$ y $r_n=\dfrac{a_n}{b_n},$ para cada $n\in\Bbb N,$ donde $\{a_n\}$ es una secuencia de números enteros y $\{b_n\}$ es una secuencia de enteros positivos. Demostrar que $\lim_{n\to\infty}b_n=+\infty.$

Demostré tal resultado por contradicción:

Si $\lim_{n\to\infty}b_n\neq+\infty,$ entonces $\exists M\in\Bbb R$ tal que $\forall N\in\Bbb N,$ existe algún $n\geq N$ tal que $b_n<M.$ Por lo tanto, podemos construir una subsecuencia $\{b_{m_k}\}$ de $\{b_n\}$ de la siguiente manera:

Primero $\exists m_0\geq0$ tal que $b_{m_0}<M.$ Habiendo elegido $m_1,\ldots,m_p,$ dejar $m_{p+1}$ sea tal que $m_{p+1}>m_p$ y $b_{m_{p+1}}<M.$

Desde $1\leq b_{m_k}<M,$ por cada $k\in\Bbb N$ y $\{b_n\}$ es una secuencia de enteros positivos, debe existir algún constante subsiguiente $\{b_{n_k}\}$ de $\{b_n\}.$

Dejemos que $b$ sea el número entero positivo tal que $b_{n_k}=b$ por cada $k\in\Bbb N$ y que $\delta>0$ sea arbitraria.

Desde $\{r_n\}$ converge a $x,$ entonces $\{r_{n_k}\}$ converge a $x$ y, por lo tanto, hay algo natural $N_0$ tal que $$0<\left|\dfrac{a_{n_k}}{b}-x\right|<\dfrac{\delta}{b},$$ para cada $k\geq N_0.$ Entonces $$0<\left|a_{n_k}-bx\right|<\delta,$$ por cada $k\geq N_0.$ Desde $\delta$ es arbitraria, esto significa que $\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=bx.$ Por lo tanto, $\exists N_1\in\Bbb N$ y $\exists a\in\Bbb Z$ tal que $a_{n_k}=a,$ por cada $k\geq N_1.$

Por lo tanto, $r_{n_k}=\dfrac{a}{b},$ para un tamaño suficientemente grande $k,$ lo que contradice el hecho de que $r_n\neq x,$ por cada $n\in\Bbb N.$

Mis preguntas son , ¿hay una prueba directa del ejercicio? o ¿existe una solución elegante? y, ¿es correcta la idea de mi prueba?

Answer 1

Me gusta su prueba, tenga en cuenta en el y que en realidad $a=bx$ para que $\frac{a}{b}=x$ .

Además, no veo por qué necesitas la subsecuencia que llamas $\{b_{m_k}\}$ se puede "saltar" directamente a la subsecuencia constante $\{b_{n_k}\}$ que es el que necesitas.

Si buscas un argumento "más rápido", puedes empezar exactamente igual, argumentando la existencia de una subsecuencia constante $\{b_{n_k}\}=\{b\}$ de la secuencia del denominador, después, ya que $\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$ converge a $x$ , $\left\{\frac{a_{n_k}}{b_{n_k}}\right\}$ converge a $x$ también y por lo tanto $\left\{b_{n_k}\cdot\frac{a_{n_k}}{b_{n_k}}\right\}=\left\{a_{n_k}\right\}$ converge a $b\cdot x$ Esto simplificaría su argumento delta.

Answer 2

Creo que la condición de Cauchy se puede utilizar aquí en la demostración. Escribiré la idea brevemente

1. Como en el caso anterior, suponga que $b_k\not\to+\infty$ entonces existe una subsecuencia acotada. WLOG lo llamaremos de nuevo $b_k$ es decir $|b_k|\le M$ .

2. Desde $a_k/b_k$ es convergente es una secuencia de Cauchy, es decir $$ \|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_m}{b_m}\|\le\epsilon,\quad\forall n,m\ge N $$ para cualquier $\epsilon>0$ . Después de reescribirlo obtenemos $$ |a_n b_m-a_m b_n|\le\epsilon|b_n b_m|\le\epsilon M^2. $$

3. Es posible elegir este tipo de $N$ que $\epsilon M^2<1$ lo que significa que $a_n b_m=a_m b_n$ , $\forall n,m\ge N$ es decir $$ \frac{a_n}{b_n}=\frac{a_m}{b_m},\quad \forall n,m\ge N, $$ es decir, la secuencia se vuelve constante después de un tiempo.

4. Desde $a_n/b_n\to x$ debe significar que $a_n/b_n=x$ , $\forall n\ge N$ lo que contradice la suposición.

Answer 3

Fijar $M$ y considerar todas las fracciones de la forma $a/b$ con $b < M$ . Aunque hay infinitas fracciones de esta forma, sólo un número finito de ellas están a una distancia $1$ de $x$ (ya que si $|a/b-x| \leq 1$ entonces y $|a-c| > 2b$ entonces $|c/b-x| > 1$ ). Sea $r \neq x$ sea una de las fracciones más cercanas. Entonces $|x-a/b| \geq |x-r|$ siempre que $b < M$ . Desde $a_n/b_n \to x$ para grandes $n$ debemos tener $|x-a_n/b_n| < |x-r|$ y así $b_n \geq M$ . Como esto es cierto para cada $M$ vemos que $b_n \to \infty$ .

Cuando $x$ es racional, digamos $x = p/q$ entonces podemos ver este fenómeno aún más vívido: si $b < M$ y $a/b \neq x$ entonces $$ \left|x - \frac{a}{b}\right| = \left|\frac{pb-aq}{bq}\right| \geq \frac{1}{bq} > \frac{1}{Mq}. $$ Así que para estar a distancia $1/(Mq)$ el denominador debe ser al menos $M$ .

Answer 4

¿Qué tal esto? $s_n := r_n-x$ entonces $\lim_{n\to\infty}s_n=0$ es una serie nula tal que $s_n \neq 0\forall n\in \mathbb{N}$ Porque $s_n = \frac{a_n}{b_n}-x = \frac{a_n-xb_n}{b_n} =: \frac{c_n}{b_n}$ y $\lim_{n\to\infty} \frac{c_n}{b_n} = \frac{c}{b}$ como $b_n\neq 0$ . Esto implica que, o bien $\lim_{n\to\infty} c_n = 0$ o $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ . El primer caso da una contradicción porque $a_n$ y $b_n$ son números enteros y la serie sólo puede llegar a cero si $a_N = xb_N$ para algunos $N$ que viola $s_n \neq 0$