Subsecuencias indiscernibles

Question

Trabajar en un modelo saturado $\cal U$ de cardinalidad suficientemente grande.

¿Hay suposiciones sobre $\kappa<|\cal U|$ que garantizan que cualquier secuencia $\langle a_i:i<\kappa\rangle$ tiene una subsecuencia de longitud $\kappa$ que es indiscernible?

(Si la respuesta es sí podría ayudarme con una referencia).

Answer 1

En realidad tu pregunta se deduce fácilmente de la existencia de un cardinal de Ramsey $\kappa$ si sólo se pide que la secuencia sea indescifrable en un subconjunto de tamaño $<\kappa$ y $|L|<\kappa$ .

Recordemos que un cardinal de Ramsey es un cardinal infinito que satisface que para cada función $f:[\kappa]^{<\omega}\rightarrow\tau$ , $2\leq\tau<\kappa$ hay $H\subseteq\kappa$ con $|H|=\kappa$ tal que para todo $n<\omega, f\upharpoonleft [H]^n$ es constante.

Dado cualquier subconjunto $A,B\subseteq U$ con $|B|=\kappa$ y $|A|<\kappa$ Consideremos la función $f:[B]^{<\omega}\rightarrow \bigcup_{n<\omega} S^n(A)$ dado por $(a_1,\ldots, a_n)\mapsto tp(a_1,\ldots, a_n)$ . Entonces, como $|\bigcup_{n<\omega} S^n(A)|\leq 2^{|L|+|A|}<\kappa$ ; $\kappa$ es inaccesible, hay $B'\subseteq B$ con $|B'|=\kappa$ tal que $f\upharpoonleft [B']^n$ es constante para todo $n$ . Esto implica claramente, en particular, que cualquier secuencia en $U$ de longitud $\kappa$ tiene una subsecuencia de la misma longitud indiscernible sobre $A$ .