¿Paradoja de la ley de gravitación para objetos muy cercanos?

Question

Todos sabemos que la fuerza de gravitación entre dos cuerpos pequeños (no celestes) es despreciable. La razón es que su masa es MUY pequeña. Pero según la ley del cuadrado inverso, como $r\to 0$ entonces $F\to \infty$ . Pero en la vida real observamos que aunque acerquemos mucho dos objetos, no se ve esa fuerza.

¿Por qué?

Answer 1

La ley del cuadrado inverso es válida para los objetos con simetría esférica, pero en ese caso el principal problema es que $r$ es la distancia entre sus centros. Así que las esferas "muy cercanas" siguen estando bastante separadas $r$ sería al menos la suma de sus radios.

Para dos esferas de igual densidad y tamaño que se tocan, la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellas es $$F = G\frac{M^2}{(2r)^2} = \frac{4}{9}G\pi^2\rho^2r^4\text{,}$$ que definitivamente no llega al infinito como $r\to 0$ a menos que la densidad $\rho$ se incrementa, pero la materia ordinaria sólo tiene densidades de hasta $\rho \sim 20\,\mathrm{g/cm^3}$ más o menos.

Las pruebas de la ley de Newton para esferas pequeñas comenzaron con el Experimento Cavendish y este documento cuenta con una colección de referencias a las $1/r^2$ pruebas.

Answer 2

Porque los átomos no son infinitamente pequeños.

El hecho de que no veamos fuerzas gravitacionales infinitas entre dos objetos que se tocan nos dice algunas cosas interesantes sobre la naturaleza de la materia ordinaria.

Como Respuesta de Stan Liou señala con bastante acierto, para masas esféricamente simétricas la atracción gravitatoria depende totalmente de sus masas y de la distancia entre sus centros. Esto se denomina teorema de la cáscara .

Por ejemplo, si tienes dos esferas de acero con un diámetro de un centímetro, ponerlas en contacto significa que sus centros están a un centímetro de distancia, y calcular la fuerza gravitacional a partir de eso y de su masa (con una densidad de unos 7,8 g/cm 3 ) te da un número muy pequeño que no me voy a molestar en calcular.

Pero la atracción gravitacional no sólo se aplica a cada esfera en su conjunto. Se aplica a cualquier dos partículas masivas. Las partículas dentro de cada esfera se atraen entre sí, y cada partícula dentro de cada esfera se atrae a cada partícula dentro de la otra esfera. Sucede que un objeto esféricamente uniforme es gravitatoriamente equivalente a una masa puntual en el centro.

Pero la materia no es uniforme.

Si la masa dentro de cada esfera estuviera distribuida uniformemente en todas las escalas (¡sin átomos!), entonces tener dos esferas en contacto entre sí significaría que partes de una esfera estarían infinitamente cerca de partes de la otra esfera. Pero eso no da una fuerza gravitatoria infinita. Consideremos un pequeño subconjunto de una esfera en contacto con un pequeño subconjunto de la otra. A medida que se reduce la escala de las partes consideradas, la fuerza aumenta como el cuadrado inverso del tamaño, pero la masa de los subconjuntos aumenta abajo como el cubo del tamaño. Así que eso es consistente con lo que vemos, y el teorema de la cáscara se aplica.

Pero si la masa se concentrara en partículas masivas infinitamente pequeñas (átomos de tamaño cero), y esas partículas pudieran entrar en contacto directo entre sí, entonces podría tener dos partículas de este tipo con masa finita a distancia cero. La fuerza gravitatoria sería infinita, y la materia ordinaria tal como la conocemos probablemente no podría existir.

En realidad, la materia está compuesta por pequeñas partículas masivas de tamaño finito, por lo que no vemos fuerzas gravitatorias infinitas. (Los electrones, incluso si son infinitamente pequeños, son repelidos por su carga eléctrica, por lo que no pueden acercarse lo suficiente para que la fuerza gravitacional entre dos electrones sea significativa).

Así que el hecho de que la materia ordinaria sea capaz de existir, y que no veamos fuerzas gravitacionales infinitas entre objetos en contacto directo, elimina algunos modelos posibles de cómo se construye la materia ordinaria a escalas muy pequeñas.

(Cuando empecé a escribir esta respuesta, pensaba que también eliminaba la posibilidad de una distribución uniforme sin átomos, pero resultó no ser así).

Answer 3

La constante gravitatoria es extremadamente pequeña (aproximadamente 6,674 x 10^-11 N (m/kg)^2). Por lo tanto, aunque no se vea ninguna fuerza en tu ejemplo, ésta sigue existiendo. La fuerza no podría llegar al infinito ya que la fuerza se mide desde el centro de masa, no desde las superficies.