¿El functor de la ley sobre la preservación de la identidad seguir a partir de otras leyes?

Question

Sólo he recientemente recogido de la literatura acerca de la categoría de la teoría, sino la definición de un functor en la Wikipedia parece redundante para mí. Yo he parafraseado aquí:

Categorías $C$$D$, luego de un mapeo $F : C \rightarrow D$ es un functor iff:

• $F$ asigna a cada objeto $X \in C$ un objeto $F(X) \in D$, (a la izquierda del total de objetos)
• $F$ asigna a cada flecha $f : X \rightarrow Y \in C$ una flecha $F(f) : F(X) \rightarrow F(Y) \in D$, (a la izquierda del total de las flechas)
• Para todas las flechas $f : X \rightarrow Y$ $g : Y \rightarrow Z$ en $C$, $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$, (homomorphism) y
• Para cada identidad flecha $1_X : X \rightarrow X$ en $C$, $F(1_X) = 1_{F(X)}$. (la preservación de la identidad)

Por lo que entiendo, se puede probar que toda identidad flecha en una categoría única. Combinado con este teorema, creo que la siguiente prueba es correcta:

• La reflexividad de la igualdad: $\forall f\in C: f = f$
• De izquierda totalidad de flechas: $\forall f\in C: F(f) = F(f)$
• Introducir a la izquierda-identidad: $\forall f\in C: F(1_Y \circ f) = F(f)$ (determinado $f:X \rightarrow Y$)
• Homomorphism: $\forall f\in C: F(1_Y) \circ F(f) = F(f)$ (determinado $f:X \rightarrow Y$)
• Debido a la singularidad de la identidad, $F(1_Y)$ debe ser la identidad de flecha para $F(Y)$, por lo que se deduce que el $F(1_Y) = 1_{F(Y)}$.

Me estoy perdiendo algo aquí? ¿La preservación de la identidad seguir a partir de otras leyes?

Answer 1

El problema con tu argumento es que confundes $F(1_Y) \circ F(f) = F(f)$ todos los $f$ $F(1_Y) \circ g = g$ todos los $g$.

Por ejemplo, recoger cualquier objeto con un idempotente endomorfismo $e$, y un mapa de todos los morfismos a $e$. A continuación, $F(f) \circ F(g) = F(h)$ todos los $f,g,h$, pero $e$ no tiene que ser la identidad.

Su argumento no demuestra que si la identidad es la imagen de su functor, decir $1_{FY} = Fh$, entonces: $F(1_Y) = F(1_Y) \circ 1_{FY} = F(1_Y) \circ Fh = F(1_Y \circ h) = Fh = 1_{FY}$. Tenga en cuenta que esta prueba requiere de $1_Y \circ h$ a tener sentido, por lo $h$ debe tener codominio $Y$: es fácil ver cómo se puede modificar la prueba de lo que se seguiría trabajando si $h$ tenían el dominio $Y$ lugar.

Stefan H, en los comentarios, proporciona un ejemplo para mostrar que esta condición es necesaria: considerar el functor $F$ a partir de la categoría de $\mathcal C$ con dos objetos de $X$ $Y$ (y sólo sus identidades como morfismos) a la categoría de $\mathcal D$ con un objeto $Z$ y dos morfismos, la identidad de $1_Z$ y algunos $f : Z \to Z$$f \circ f = f$. A continuación, la asignación de envío de $1_X$ $1_Z$ $1_Y$ % # % no es un functor, porque $f$ no es una identidad, pero es surjective en morfismos.

El problema aquí es sutil: a pesar de que siempre podemos decir $f$, no siempre es correcto iniciar de $F(g \circ h) = Fg \circ Fh$ y se dice que debe ser igual a $Fg \circ Fh$, debido a que el último podría no-comprobación de tipo!

Temas como este son la razón por la que (por ejemplo) la definición de un functor recoge los objetos de la categoría de la fuente primera, y luego dice que el functor de acción es surjective restringido a aquellos que, en lugar de simplemente decir "todos los morfismos en la imagen". Y, de hecho, esta atención adicional significa que una de morfismos de asignación completa (y la preservación de la composición) realmente asegurarse de que conserva las identidades. Tenga en cuenta que a Stefan del contraejemplo, el functor de asignación de $F(g \circ h)$ no es surjective, ya que no morfismos de $\mathcal C(X,X) \to \mathcal D(FX,FX)$ a sí mismo se asigna a $X$, lo $f$ no es completa, aunque es surjective.

Answer 2

Se ha demostrado que la $F(1_Y) \circ F(f) = F(f)$ por cada $\mathcal{C}$-flecha $f : X \to Y$. Sin embargo, con el fin de mostrar que el $F(1_Y)=1_{FY}$ usted necesita mostrar que $F(1_Y) \circ g = g$ por cada $\mathcal{D}$-flecha $g:Z \to FY$. Estas dos nociones no tiene que ser necesariamente el caso, a menos que todos los $\mathcal{D}$-flecha en $FY$ es de la forma $F(f)$ algunos $\mathcal{C}$-flecha $f$.

Por ejemplo, considere las categorías $\mathcal{C}$$\mathcal{D}$, que ambos tienen un solo objeto, el conjunto $X=\{ 0,1 \}$, y

• $\mathcal{C}$ tiene sólo la función identity $1_X$ como una flecha
• $\mathcal{D}$ tiene como flechas de la identidad de la función $1_X$ y la función constante $f$ con valor cero

Deje $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$$1_X$$f$. Verás que todos los axiomas son satisfechos, excepto el requisito de que $F(1_X)=1_{FX}=1_X$.

Answer 3

Sí, el último paso de la prueba es incorrecta. Se puede concluir que una flecha $e:X\rightarrow X$ es la identidad en $X$ si para todas las flechas $f:X\rightarrow Y$ y todas las flechas $g:Z\rightarrow X$, $f\circ e = f$ y $e\circ g = g$.

Usted ha demostrado que, para todas las flechas de la forma $F(f)$ tenemos $F(1_Y) \circ F(f) = F(f)$. Esto no es suficiente para concluir que $F(1_Y)$ es la identidad.

Aquí es un contraejemplo: Vamos a $C$ ser una categoría con un solo objeto, $X$, y sólo una flecha, $1_X$.

Deje $D$ ser una categoría con un solo objeto, $Y$, y dos flechas: $\text{Hom}(Y,Y) = \{1_Y,f\}$, con una composición definida, de modo que $f\circ f = f$.

Ahora vamos a $F$ ser el "functor" (entre comillas porque realmente no es un functor) el envío de $X$ $Y$ $1_X$a $f$. $F$ conserva composición ($F(1_X\circ 1_X) = F(1_X) = f = f\circ f = F(1_X) \circ F(1_X)$), pero no preservar las identidades.