Una pregunta sobre la cardinalidad del conjunto de todas las biyecciones de $M$ a sí mismo

Question

$M$ denotamos el conjunto de todas las biyecciones de $M$ a sí mismo por $K$ Es la cardinalidad de $K$ mayor que la cardinalidad de $M$ ?

Answer 1

Claro que sí, a menos que $|M|$ es $1$ ou $2$ . Si $M$ es finito, esto significa simplemente que $|M|!>|M|$ . Si $M$ es infinito, entonces $M \simeq M \times \{0,1\}$ . Veamos las biyecciones de $M \times \{0,1\}$ a sí mismo.

Hay al menos tantos como subconjuntos de $M$ . De hecho, si $A \subset M$ entonces se puede construir una biyección $\varphi\colon M \times \{0,1\} \to M \times \{0,1\}$ de manera que se fijen los pares $(m,0)$ y $(m,1)$ por cada $m \in A$ e intercambia los pares $(m,0)$ y $(m,1)$ por cada $m \not \in A$ .

Esto demuestra que la cardinalidad del conjunto de biyecciones de $M$ a sí mismo es mayor o igual que la cardinalidad del conjunto de potencias de $M$ que a su vez es estrictamente mayor que $|M|$ .

Answer 2

En general, para una cardinalidad $\kappa $ la cardinalidad del conjunto que describe puede escribirse como $\kappa !$ . Para los casos de $\kappa$ la cardinalidad $\kappa !$ viene dada por el factorial habitual. Para el infinito $\kappa $ uno tiene $\kappa ! = 2^\kappa$ . No es difícil de demostrar utilizando Cantor-Schroeder-Bernstein.