Asocia los números primos y la integral de cierre

Question

Deje $A$ ser un integrante de dominio, que es el finitely generado como un $k$-álgebra y deje $I\subset A$ ser un ideal. Deje $B$ ser integral, de cierre (en el campo de fracción $\mathrm{Frac}\ A$) - en este caso $B$ es finito como un $A$-módulo y un finitely generadas $k$-álgebra.

Hay relaciones entre los asociados de los números primos de $I$ y los asociados de los números primos de $IB$ (como un ideal en el $B$)?

Por ejemplo, yo esperaría que el número de mínimo de los números primos es el mismo en ambos casos, pero es cierto embebidos primos también?

Answer 1

No es cierto que hay un bijection entre el mínimo de los números primos en los dos casos. Por ejemplo, supongamos $A = k[x,y] / (y^2 = x^2 + x^3)$. La normalización es$k[t]$,$t = y/x$; hemos $x = t^2-1$, $y=t^3-t$. Si usted mira el ideal $\langle x,y \rangle$, su preimagen es $\langle t^2-1, t^3-t \rangle = \langle t^2-1 \rangle = \langle t-1 \rangle \cap \langle t+1 \rangle$. El camino conceptual para pensar acerca de esto es que la curva de $y^2 = x^2+x^3$ tiene un crunode en $(0,0)$, y la normalización separa las dos ramas.

También es posible obtener los elementos embebidos. Yo sólo eligió el primer ejemplo que se me vino a la mente y funcionó: Vamos a $A = k[x,y,z]/(x^2 = y^2 z)$. Esto se conoce a veces como el paraguas de Whitney. Su normalización es$k[u,v]$,$u = y$$v = x/y$; tenemos $(x,y,z) = (uv, u, v^2)$. Deje $I$ ser el primer ideal $\langle x, z \rangle$. A continuación,$BI = \langle uv, v^2 \rangle = \langle v \rangle \cap \langle u, v^2 \rangle$.