Conjunto Teórico de la Definición de Números Complejos: Cómo Distinguir $\mathbb{C}$$\mathbb{R}^2$?

Question

He pasado algún tiempo en busca de un riguroso conjunto de la teoría de la definición de los números complejos. He leído el libro Elementos de la Teoría de conjuntos por Herbert Enderton (1977), que hace un excelente trabajo de la construcción de los números de conjuntos, incluyendo los números naturales, los enteros y los números racionales, pero se detiene en los números reales.

Hasta ahora, sólo he encontrado dos comparable construcciones de los números complejos

• El conjunto de todos los $2 \times 2$ matrices de tomar un valor real de los componentes
• El conjunto de todos los pares ordenados de tomar un valor real de los componentes

Estoy a favor de la segunda mejor, porque siento que tiene una fuerte interpretación geométrica debido a sus similitudes con Euclidiana espacios vectoriales. Es decir, definir \begin{equation*} \mathbb{C}=\{(x,y):x,y \in \mathbb{R}\}, \end{ecuación*} que también es exactamente la forma en el plano Euclidiano, $\mathbb{R}^2$, se define.

Esto me lleva a mi pregunta. Con $\mathbb{C}$ define exactamente la misma como la forma en que se definen $\mathbb{R}^2$, ¿cómo distinguir los elementos de estos dos juegos? Por ejemplo, ¿cómo distinguir el ordinario de vectores $(0,1) \in \mathbb{R}^2$ de lo que definimos a ser $i$, es decir, el número de $i=(0,1) \in \mathbb{C}$, cuando ellos son teóricamente idénticos? En teoría, estos dos muy diferentes "números" -- el vector $(0,1)$ y el número de $i$ - son exactamente el mismo!

Gracias por tus pensamientos!

Answer 1

Si se define el conjunto de $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}^2$ , entonces, obviamente, no puede distinguir entre estos conjuntos. Esto se desprende de la reflexividad de la = símbolo en la teoría de conjuntos: si $a=a$$a$"" $a$. La diferencia es que ustedes tienen definida una multiplicación en $\mathbb{C}$. En otras palabras, la diferencia está oculto en la estructura con la que dotar el conjunto, no en el subyacente de los conjuntos.

Me appologize si esto se ve como un estúpido o trivial respuesta y si me falta algo de profundidad.

Answer 2

Considerar estos dos conjuntos ordenados:

1. $(\{0,1\},<)$ donde $<$ es el orden usual, $0<1$.
2. $(\{0,1\},\prec)$ donde $\prec$ es el discreto orden, $1\nprec 0$$0\nprec1$.

¿Cómo se puede distinguir entre el $0$ en el primer y en el segundo? Es el mismo conjunto, $\{0,1\}$! Y, de hecho, no se puede distinguir entre ellos. Si es el mismo, entonces es el mismo conjunto. Período.

Pero $\Bbb C$ $\Bbb R^2$ tienen una estructura adicional, que no son sólo conjuntos. Tienen, además, la multiplicación, y así sucesivamente definidos en ellos. ¿Cómo se puede distinguir entre el $0$ en el primer pedido y en el segundo, no.? Cómo distinguir entre los dos conjuntos ordenados? Son diferentes conjuntos ordenados, uno es lineal y el otro no.

Si usted defina $\Bbb C$ como un campo cuyo conjunto subyacente es $\Bbb R^2$, y usted puede hacer eso, entonces usted no distinguen $(0,1)$$i$. Se define a ser el mismo objeto. Pero la distinción $\Bbb C$ $\Bbb R^2$ por el hecho de que tienen diferentes multiplicación definidos, uno de ellos es un campo y el otro es un anillo con divisores de cero.

Por supuesto, usted puede definir $\Bbb C$ como cociente de $\Bbb R[x]$ en su lugar, lo que da una completamente diferente conjunto subyacente.

Answer 3

No hay ninguna diferencia en las definiciones usuales de $\mathbb C$$\mathbb R^2$. Hay poca razón para la diferencia. Las diferencias más importantes son las operaciones y relaciones que consideramos de gran importancia, no la establece a sí mismos.

De hecho, ¿qué significa exactamente por el vector $(0,1)$$\mathbb R^2$? Kuratowski, que lo define como el conjunto de $\{\{0\}, \{0,1\}\}$. Estos elementos son iguales, pero no nos importa, ya que hay poca razón para la atención. Podríamos ir más lejos y sustituir las definiciones de $0$$1$, y algunos libros definen $\{0\}$$\{0,0\}$, pero usted consigue la idea.