Hilbert campo de la clase de aplicación

Question

Si $K$ es un imaginario cuadrática campo y $M$ es un unramified Abelian extensión de $K$, el de demostrar que $M$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}$

Vamos a ver...Si $L$ es la de Hilbert campo de la clase de $K$, $L$ es la máxima extensión de unramified de $K$, $\mathbb{Q} \subset K \subset M \subset L$ $L$ es de Galois sobre $K$...

Gracias!

Answer 1

Respuesta parcial:

Tenemos $K \subset L$, $M \subset L$ y $\mathbb{Q} \subset K$, extensiones de Galois. También, $K \subset M$ Galois, porque $Gal(L/M)$ es normal subgrupo de $Gal(L/K)$.

¿Qué podemos decir acerca de $Aut(M/\mathbb{Q})$?

$|Aut(M/\mathbb{Q})|= 2|Gal(M/K)|$?

Answer 2

El siguiente sencillo argumento parece funcionar para cualquier $K$, que es de Galois sobre $\mathbb{Q}$ (podría ser que $K$ es especificado para ser imaginario cuadrática con el fin de garantizar uno entiende que el $M/K$ es unramified no sólo en lo finito, sino también en el infinito de los números primos?): desde $M$ es unramified, abelian, debe estar contenido en $CF(K)$. Como $CF(K)/K$ es de Galois y abelian, todos los intermedios de los campos debe ser Galois y abelian. Por lo $M/K$ es de Galois. Desde $K/\mathbb{Q}$ también es de Galois, $M/\mathbb{Q}$ debe ser Galois así.