$\limsup, \liminf$ Las definiciones de la mayoría de los libros de texto son crípticas (como la de tu pregunta) en el sentido de que están escritas de forma muy concisa utilizando símbolos y normalmente no van acompañadas de alguna explicación detallada (ten en cuenta que los ejemplos no sustituyen a la explicación, sino que la complementan). El mejor tratamiento (en mi opinión) de estos conceptos de $\limsup, \liminf$ está en el libro de texto clásico de Hardy Un curso de matemáticas puras . A continuación presento los mismos.
Dejemos que $a_{n}$ sea una secuencia y considere cualquier número $K$ . Tenemos tres posibilidades mutuamente excluyentes y exhaustivas:
- Hay un número entero positivo $m$ tal que $a_{n} \leq K$ para todos $n \geq m$ es decir $a_{n}$ no supera $K$ para todos los valores grandes de $n$ .
- Hay un número entero positivo $m$ tal que $a_{n} \geq K$ para todos $n \geq m$ es decir $K$ no supera $a_{n}$ para todos los valores grandes de $n$ .
- Dado un número entero positivo cualquiera $m$ hay dos enteros $n_{1}, n_{2}$ ambos mayores que $m$ tal que $a_{n_{1}} > K$ y $a_{n_{2}} < K$ es decir, hay infinitos valores de $a_{n}$ mayor que $K$ y también infinitos valores de $a_{n} < K$ .
Si $a_{n} = (-1)^{n}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$ y $K = 1.5$ entonces se da la primera posibilidad. Si $K = -1.1$ entonces se da la segunda posibilidad y si $K = 0$ entonces se da la tercera posibilidad. Debes convencerte de que estos números se ajustan a las posibilidades descritas anteriormente.
Hardy llama a los números de tipo $K$ en la primera posibilidad como superior números (con respecto a la secuencia $a_{n}$ ). Y esos números $K$ que se ajustan a la segunda posibilidad se denominan inferior números. Los números $K$ tercera posibilidad de ajuste se llaman intermedio números.
A través de estas definiciones se ve fácilmente que
- Si $K$ es superior a cualquier número mayor que $K$ también es superior.
- Si $K$ es inferior entonces cualquier número menor que $K$ también es inferior.
- Cualquier número intermedio es menor que cualquier número superior y mayor que cualquier número inferior.
El siguiente paso es considerar el conjunto de todos los números que son superiores con respecto a la secuencia $a_{n}$ es decir $$A = \{K\mid K\text{ is superior with respect to }a_{n}\}$$ Si la secuencia $a_{n}$ está acotado, entonces el conjunto $A$ anterior está acotado por debajo y, por tanto, existe un límite inferior mayor para $A$ . Definimos $$\limsup a_{n} = \inf A = \inf\, \{K\mid K\text{ is superior with respect to }a_{n}\}$$ por lo que un $\limsup$ es casi como el número más pequeño superior a la secuencia $a_{n}$ . Para la secuencia de ejemplo tenemos $\limsup a_{n} = 1$ . Del mismo modo, $$\liminf a_{n} = \sup\,\{K\mid K \text{ is inferior with respect to }a_{n}\}$$ para que $\liminf a_{n}$ es casi el mayor número inferior a $a_{n}$ . Para el ejemplo anterior $\liminf a_{n} = -1$ .
¿Qué se desprende de lo anterior? Pues que tenemos las siguientes dos propiedades obvias para $M = \limsup a_{n}$ :
- Cualquier número mayor que $M$ es superior por lo que si $\epsilon > 0$ entonces $a_{n} \leq M + \epsilon$ para todos los valores grandes de $n$ . (¿Por qué? $M$ es el ínfimo de todos los números superiores y por definición tenemos un número superior tan cercano a $M$ como sea posible y así tenemos una $K$ con $M \leq K < M + \epsilon$ . Ahora $M + \epsilon$ es mayor que un número superior $K$ y por lo tanto $M + \epsilon$ también es superior. Y por lo tanto $a_{n}$ no supera $M + \epsilon$ para todos los grandes $n$ .)
- Cualquier número inferior a $M$ no es superior por lo que si $\epsilon > 0$ entonces $a_{n} > M - \epsilon$ para infinitos valores de $n$ . (¿Por qué? $M - \epsilon$ es menor que $M$ y por lo tanto no es superior. Por definición, es inferior o intermedia. En ambos casos tenemos $a_{n}$ superándolo infinitas veces (véase la definición de números intermedios/inferiores))
Tenemos propiedades similares para $m = \liminf a_{n}$ que puedes formular tú mismo. Tenga en cuenta que en las aplicaciones prácticas del concepto de $\limsup$ y $\liminf$ necesitamos las propiedades anteriores y no sus definiciones reales.
