Si G es finito grupo con un número de elementos y tiene identidad e, hay una en G tal que a*a=e

Question

Mi enfoque es ;

Yo restar e de G entonces G-{e} tiene número impar de elementos.

Para cualquier elemento en G-{e}, debe haber una relación inversa de ese elemento en G-{e}.

Tomar cualquier elemento en G-{e}, digamos b, Si b*b=e, entonces la prueba se realiza.

Si inverso de b no es en sí mismo, entonces no debe ser un elemento en G-{e}, digamos c, tal que b*c=e.

Debido a que hay un número impar de elementos, puedo seguir haciendo esto hasta que me han dejado con una

elemento que no tiene un par, digamos d.

otros elementos en G-{e} no puede ser inverso de d porque todos ellos han pares, y el correo no puede ser una función inversa de d.

Por lo tanto, d tiene que ser inverso de sí mismo.

Es mi prueba válida? o ¿alguien Puede modificarlo por favor?

Answer 1

Supongamos que para todos los $a\in G$ $a\ne e$ que $a^2\ne e$. A continuación,$a\ne a^{-1}$. Por lo tanto, hay un número de no-identidad de los elementos en $G$. Pero esto contradice la suposición de que $G$ tiene un número par de elementos.

Answer 2

Su argumento es correcto.

O, dejando fuera a los distintos unión de los subconjuntos $2$ elementos $\{ b, b^{-1}\}$ donde $b \ne b^{-1}$, un número de elementos que están a la izquierda. $e$ siendo uno de los de la izquierda, tiene que haber algo más $b$'s no $e$ $b^2 = e$ ( un número impar de ellos).