Relación entre la unitariedad y la conservación de la probabilidad

Question

En un seminario, escuché que el aspecto unitario de las representaciones era importante físicamente, porque en la mecánica cuántica unitaridad está estrechamente ligada a la conservación de la probabilidad. ¿Podría alguien explicar por qué esto es así?

Después de pensar un poco, una vaga conexión que se me ocurre es que una matriz generada por una matriz hermitiana, $$U =e^{iH},$$ donde $H$ es hermitiano está obligado a ser unitario . Como las matrices hermitianas corresponden a observables, esto debe tener alguna importancia. Aunque, como ya he dicho, todavía no tengo ni idea.

Answer 1

Las probabilidades son (cuadrados de) amplitudes de probabilidad, que pueden obtenerse como productos internos de vectores en el espacio de Hilbert: $\langle X|Y \rangle$ . Bajo una transformación U, el ket se transforma como

$$|Y\rangle \rightarrow |Y'\rangle = U |Y\rangle$$

y el sujetador como

$$\langle X| \rightarrow \langle X'| = \langle X| U^{\dagger}$$

Así que si U es unitario, la amplitud de probabilidad $\langle X|Y \rangle$ se mantiene bajo la transformación, ya que $U^{\dagger}$ = $U^{-1}$ y por lo tanto $\langle X'|Y' \rangle = \langle X|Y \rangle$ .

Answer 2

Esta respuesta es bueno si por "conservación de la probabilidad", te refieres a la conversación dinámica, pero déjame intentar analizar la frase "el aspecto unitario de las representaciones era importante físicamente" de otra manera.

Tanto la mecánica ondulatoria de Schrodinger como la mecánica matricial de Heisenberg satisfacen $[Q,P] = i \hbar$ pero lo hacen en espacios de Hilbert totalmente diferentes. Se puede preguntar, ¿quién es a la derecha ? -- o, cuántos otros representaciones de esta relación existen? Pues bien, el teorema Stone-von Neumann dice que todas las representaciones de $[Q,P] = i\hbar$ son equivalente unitario . Es decir, existe una unidad $U$ llevando una representación a la otra: $[U Q U^\dagger, UPU^\dagger] = i\hbar$ .

Así que la representación de Schrodinger y la de Heisenberg son unitariamente equivalentes -- pero aún así quieres saber cuál es la a la derecha uno. Pues bien, resulta que ambos lo son. En cualquier representación, el físico las predicciones se manifiestan como probabilístico predicciones sobre el resultado de un evento $E$ (representado como un operador positivo) dado el estado del sistema es $|\psi\rangle$ , a saber. $$\Pr(E|\psi) = \langle\psi|E|\psi\rangle.$$ Ahora considere las predicciones de equivalente unitario representación: $$\Pr(UEU^\dagger|U\psi) = \langle\psi|U^\dagger UEU^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|E|\psi\rangle.$$ Así que las representaciones unitariamente equivalentes son físicamente indistinguibles.

Answer 3

Lo importante en QM es la media de un determinado observable si usas transformaciones unitarias la media no cambia en absoluto. Como caso especial se puede tomar el promedio del operador de identidad, esto debería dar 1 para cualquier transformación unitaria.