¿Existe una función de $f : X \to Y$ tal que $f \in Y$?

Question

¿Existe una función de $f : X \to Y$ tal que $f \in Y$?

Creo que esta es la relativa a la paradoja de Russell, pero no estoy exactamente seguro de cómo.

---

Añadido Posterior: Como Brian señala que, dada cualquier función de $f : X \to Y_0$, podemos agregar $f$ para el codominio, es $f : X \to Y_0\cup\{f\}$ es una función que satisface mi solicitud inicial.

Sin embargo, lo que si tratamos de encontrar un surjective función de $f : X \to Y$ tal que $f \in Y$?

Answer 1

Vamos $X=\varnothing$, $Y=\{\varnothing\}$; la única función de $f:X\to Y$$\varnothing$, lo cual es un elemento de $Y$.

Añadido: Por un poco menos trivial ejemplo, supongamos $X=\{0\}$$Y=\big\{1,\{\langle 0,1\rangle\}\big\}$; a continuación, $\{\langle 0,1\rangle\}$ es una función de $X$ $Y$que es un elemento de $Y$. En general comienzan con cualquier función de $f$ $X$ a algunos de $Y_0$, y deje $Y=Y_0\cup\{f\}$; a continuación,$f$, considerado ahora como un subconjunto de a $X\times Y$, es una función de $X$ $Y$que es un elemento de $Y$.

Answer 2

Deje $V_\omega$ el conjunto de hereditariamente finitos conjuntos (es decir, conjuntos que son finitos, y todos sus elementos son finitos, y así sucesivamente). Es inmediato a partir de esta definición que el si $x\in V_\omega$$y\in x$$y\in V_\omega$, y si $x\subseteq V_\omega$ es finito, entonces $x\in V_\omega$.

No es difícil mostrar que si $X\in V_\omega$$\mathcal P(X)\in V_\omega$, y si $X,Y\in V_\omega$$X\times Y\in V_\omega$.

Tomar cualquier conjunto $X\in V_\omega$, entonces cualquier función de $f$ $X$ a $V_\omega$ es en realidad una función en un subconjunto finito de $V_\omega$, por lo que existe un número finito de $Y\in V_\omega$, de tal manera que $f\subseteq X\times Y$. Por lo tanto,$f\in V_\omega$.

---

Para la adición, supongamos que $f\colon X\to Y$$f\in Y$. Si existe alguna $x\in X$ tal que $\langle x,f\rangle\in f$, entonces esto una contradicción con el axioma de regularidad debido a $\langle x,f\rangle =\{\{x\},\{x,f\}\}$ por el Kuratowski definición de par ordenado, porque esto significa que $$f\in\{x,f\}\in\langle x,f\rangle\in f.$$ En particular, $f$ no puede ser surjective.

Tenga en cuenta que la regularidad es necesario para esta prueba, de lo contrario podemos tener un conjunto $X=\{X\}$. Tenga en cuenta que en este caso: $$\langle X,X\rangle=\{\{X\},\{X,X\}\}=\{\{X\}\}=\{X\}=X.$$

Por lo tanto, $X\times X=X$ que es la identidad de la función de $X$ sobre sí mismo.

Answer 3

Esta definición de la función es de topología general por Engelking:

Cualquier subconjunto del producto Cartesiano $X \times Y$ es una relación. La relación $f\subset X\times Y$ se llama a una función de$X$$Y$, o una asignación de $X$$Y$, si para cada a $x\in X$ existe un $y \in Y$ tal que $(x,y)\in f$ e $y$ está determinada únicamente por $x$, es decir, $(x,y) \in f$ $(x,y') \in f$ implican $y=y'$.

Si $f \in Y$, entonces existe subconjunto de $X\times Y$ que es el elemento de la $Y$.

Por ejemplo, si $Y$$\emptyset$, entonces la respuesta a la pregunta es siempre la verdad.