Me preguntaba si siempre se puede encontrar/construir una norma que convierte un involutiva álgebra en una C*-álgebra. Por cierto, si existe, es única, pero no siempre existen. Si no puede proporcionar un ejemplo sencillo de un involutiva álgebra de que no existe ninguna norma que la convierte en una C*-álgebra. Gracias mucho! Saludos, Alex
Respuesta
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(A continuación por "álgebra" me refiero a "complejo de álgebra.")
Usted no puede incluso encontrar siempre una norma que convierte un álgebra en un álgebra de Banach. Por ejemplo, el álgebra de Weyl $\mathbb{C} \langle x, y \rangle/(xy - yx - 1)$ no se puede incrustar en un álgebra de Banach (véase el este de matemáticas.SE pregunta).
Otra limitación que la de ser un álgebra de Banach es que el radio espectral (puramente algebraica concepto) de todos los elementos de un álgebra de Banach es finito (de hecho limitada por su norma), y esta falla en general. Por ejemplo, el radio espectral de cada elemento distinto de cero de a $\mathbb{C}[x]$ es infinito.
Otra limitación es que, por el Gelfand-teorema de Mazur, la única álgebra de Banach que es también una división de álgebra es $\mathbb{C}$. Esto significa que, por ejemplo, $\mathbb{C}(x)$ no puede ser un álgebra de Banach, pero es más general que cualquier álgebra conmutativa $A$ con un ideal maximal $m$ tal que $A/m$ no es isomorfo a $\mathbb{C}$ no puede ser un álgebra de Banach (ya que si $A$ eran de un álgebra de Banach, a continuación, $m$ estaría cerrado, por lo $A/m$ también sería un álgebra de Banach).
En el caso de las C*-álgebras hay mayores restricciones. Por ejemplo, el finito-dimensional C*-álgebras son los productos de la matriz de álgebras, y estas son precisamente las semisimple álgebras. La mayoría de las finito-dimensional álgebras están muy lejos de semisimple, el más pequeño ejemplo es $\mathbb{C}[x]/x^2$ (que puede ser hecho en un álgebra de Banach).
De manera más general, el Jacobson radical de una C*-álgebra es siempre cero (por lo que una C*-álgebra es siempre semiprimitive). Este es un fuerte y puramente algebraica de restricción, y es fácil de escribir muchos ejemplos de álgebras de que no son semiprimitive, por ejemplo, un álgebra conmutativa con nilpotent elementos no pueden ser semiprimitive.
