En su artículo en el que enunciaba lo que conocemos como criterio de irreducibilidad de Eisenstein (que en realidad fue demostrado por primera vez por Schönemann, al igual que la ley de reciprocidad de Scholz y el lema de Hensel), afirmaba que el resultado también es válido en el siguiente caso: supongamos que $$ f(x) = x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \ldots + a_0, $$ donde el $a_i$ son números enteros divisibles por $p$ y donde $p^2 \nmid a_j$ para algunos $0 \le j \le m-1$ . Hay un contraejemplo obvio proporcionado por el polinomio cuadrático $f(x) = (x-p)^2 = x^2 -2px + p^2$ así que ese podría ser el final de la historia. Pero no es así: he leído en alguna parte que alguna forma de este criterio se mantiene para polinomios de grado $\ge 3$ y que los grados de los posibles factores de los contraejemplos pueden predecirse en función de este índice $j$ . Desgraciadamente, no recuerdo el enunciado exacto (los que estén familiarizados con los polígonos de Newton probablemente podrán averiguar una versión correcta) ni dónde lo he visto. ¿Alguien puede ayudarme?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Básicamente, todos estos criterios se reducen a algún argumento relacionado con el polígono de Newton, como menciona Kevin Buzzard en los comentarios. Aunque algo tan general como tu afirmación tiene contraejemplos triviales, la siguiente generalización es válida:
Sea $R$ sea un dominio de factorización único y $f(x) =a_nx^n+\cdots +a_0\in R[x]$ con $a_0a_n\neq 0$ . Si el polígono Newton de $f$ con con respecto a algún primo $p\in R$ consiste en el único segmento de línea desde $(0,m)$ a $(n, 0)$ y si $gcd(n,m) = 1$ entonces $f$ es irreducible en $R[X]$ .
He oído llamar a esto el criterio de irreducibilidad de Eisenstein-Dumas (también prueba el ejemplo dado en los comentarios). Otra generalización del criterio de Eisenstein es la siguiente:
Si $p|a_0,a_1,\dots,a_k$ pero $p^2\not | a_0$ entonces $f(x)$ tiene un factor irreducible de grado $\geq k+1$
(Así se demuestra, por ejemplo, que un polinomio como $x^n+5x^{n-1}+3$ es irreducible, después de comprobar que no tiene factores lineales). Si no responde a tu pregunta, al menos espero que esto te refresque la memoria sobre la afirmación que afirmas más arriba. :)
Esta generalización (teorema de Dumas) se discutió aquí: ¿Es irreducible un polinomio con 1 coeficiente muy grande?
Una buena fuente para aprenderlo es el libro de Prasolov sobre polinomios: http://tinyurl.com/prasolov - véase la página 53, teorema de Dumas (y un poco antes de este teorema).
Mientras tanto he encontrado algo en
- S. MacLane, El criterio de irreducibilidad de Schönemann-Eisenstein en términos de ideales primos Trans. Amer. math. Soc. 43 (1938), 226--239.
MacLane se refirió, entre otros, al artículo
- E. Netto, Sobre la irreducibilidad de funciones enteras , Math. Ann. 48 (1897), 81--88
Allí, Netto demostró lo siguiente: Un polinomio $$ f(x) = x^n + a_{n-1} p x^{n-1} + \ldots + a_{k+1} p z^{k+1} + a_k p^2 z^k + \ldots + a_0 p^2 $$ con grado $n > 2k$ en el que el $a_j$ son números enteros tales que $p \nmid a_0$ no tiene un factor de grado inferior a $k+1$ . Esto es similar al segundo ejemplo de Gjergji, pero permite la divisibilidad por $p^2$ que tenía en mente.
Franz, si no me falla la memoria, en algunos trabajos de Filaseta, por ejemplo en su interesante libro (en borrador) "Teoría de los polinomios irreducibles", se discuten ampliamente variantes del criterio de Eisenstein y relaciones con los polígonos de Newton, etc. Anteriormente estaba disponible en [1], pero es posible que ahora tenga que escribirle para obtener una contraseña para acceder a él. También tiene algún software disponible, por ejemplo, applets de Java para calcular polígonos de Newton, etc.
[1] http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math788F/latexbook/
