Cuando puede cohomology se calcula sobre el grueso del espacio de moduli?

Question

Supongamos $\cal{X}$ es un DM de la pila, y X su gruesa espacio de moduli. Deje que F sea una gavilla en $\cal{X}$, e $\pi : \mathcal{X} \to X$ la proyección. En todos los ejemplos que he visto, ha sido verdad que

$H^i(\mathcal{X},F) = H^i(X,\pi_\ast F)$.

Hay un ejemplo simple donde esta falla? Hay condiciones fáciles donde esto es cierto?

Answer 1

Sea k un campo y su DM-smack ser [Spec(k)//G] para un trivial acción de un grupo G. Una gavilla en esta pila es de aproximadamente una gavilla con un grupo de acción, y cohomology es el grupo cohomology. Si usted se considera una gavilla donde la multiplicación por |G| es invertible, entonces el grupo de cohomology se desvanece en un alto grado, pero de lo contrario hay un montón de información que no venga de la cohomology de Spec(k).

EDIT: Bajo susceptibles de circunstancias cuando la izquierda adjoint $\pi^\*$ es exacta, se puede obtener una condición suficiente para su isomorfismo de mantener. (No estoy seguro de qué tipo de topología de la que desea trabajar, o si estás trabajando con simplemente gavillas de abelian grupos o gavillas de $\mathcal{O}$-módulos o quasicoherent módulos o...) En este caso, $\pi\_\*$ conserva injectives y por lo tanto hay un Grothendieck espectral de la secuencia $$ H^p(X, {\mathbb R}^q \pi\_* F) \Rightarrow H^{p+q}(\mathcal{X},F) $$ y así una condición suficiente es que el superior directo de la imagen functors $\mathbb{R}^q \pi\_* F$ a desaparecer para q > 0. Estas son las poleas asociados a la presheaves $U \mapsto H^q(\pi^{-1} U, F)$, y a menudo sus tallos están relacionados con la cohomology de las fibras de $\pi$ - que son, en este caso de un DM-pila, prácticamente el grupo cohomology de los estabilizadores.

Answer 2

(Esto más que nada añade algunas referencias a Tyler respuesta)

$\newcommand{\X}{\mathcal X}$ Como dijo Tyler, si $F$ es un cuasi-coherentes $\cal O$-módulo, usted consigue el Grothendieck espectral de la secuencia

$$H^p(X,R^q\pi_*(F))\Rightarrow H^{p+q}(\X,F)$$

por lo que es suficiente para imponer la condición de que $R^q\pi_*=0$ $q>0$ (es decir, que $\pi_*$ es exacta). Esta es exactamente la condición de que $\X$ es domar. Ver Abramovich-Olsson-Vistoli de Domar pilas en característica positiva. En particular, DM pilas en el carácter 0 siempre son mansos.^†

Tenga en cuenta que no importaba que $\pi$ era un basto espacio de mapa. Sólo necesitábamos que $\pi_*$ es exacta ("$\pi$ es cohomologically afín"). En particular, el isomorfismo tiene al $F$ es cuasi coherente y $\pi:\mathcal X\to X$ es un buen espacio de moduli.

^† Esto se afirma en el primer párrafo del artículo, pero no veo cómo demostrarlo. Tal vez alguien podría aclarar en un comentario.