Cómo calcular el cambio en el ángulo entre dos vectores de norma como la $\ell_1$ norma de un vector de cambios?

Question

La motivación

Supongamos que $u \in \mathbb{R}^d$ es una unidad de norma del vector, $\|u\| = 1$, $a, b, c$ son algunas de las constantes positivas y $\xi \in [0,1]$ es otra constante (normalmente cerca de 1). Estoy interesado en resolver el siguiente problema

$$ \sup_{v \in \mathbb{R}^d}\ (\xi + (1-\xi)\|v\|_1^2)\left(\sqrt{ \frac{a \langle u, v \rangle^2 + b}{\xi + (1-\xi)\|v\|_1^2}} - c \right) $$

sujeto a $\|v\| = 1$.

Pregunta

Mientras que cualquier sugerencia sobre cómo encontrar un óptimo $v$ son bienvenidos, estoy especialmente interesado en la siguiente pregunta.

Cómo encontrar un vector $v$ que maximiza $\langle v, u \rangle$ y satisface $\|v\|_2 = 1$$\|v\|_1 = x$?

Una pregunta relacionada (que puede ser uno más fácil): dado un vector de $v_1$ que maximiza $\langle v_1, u \rangle$ y satisface $\|v_1\|_2 = 1$ $\|v_1\|_1 = x$ y otro vector $v_2$ que maximiza $\langle v_2, u \rangle$ y satisface $\|v_2\|_2 = 1$$\|v_2\|_1 = x + \delta$, ¿cómo encontrar el cambio de $\langle v_1, u \rangle - \langle v_2, u \rangle$ como una función de la $\delta$?

Answer 1

Tu pregunta no decir lo $x$ es. También es $u$ dado y fijo? Suponiendo que es, a su primer problema puede ser escrito $$ \min_{v_1, v_2}\; \langle v_1 - v_2, u\rangle \;\; \text{s.t.} \;\; \lVert v_1 - v_2\rVert^2_2 = 1, \quad \sum_i v_{1,i} + \sum_i v_{2} = 1, \ (v_1, v_2) \geq 0, $$ donde $v_{1,i}$ $v_{2,i}$ son los componentes individuales de $v_1$$v_2$. La idea es dividir a las $v = v_1 - v_2$$v_1 \geq 0$$v_2 \geq 0$. Este problema es suave y puede ser resuelto mediante cualquier método para suavizar la optimización (PPC, aumentada de lagrange, el interiorismo, el método de punto, etc.). Sobre el papel, se pueden escribir las condiciones KKT e ir de allí.