En la continuidad de las raíces de un polinomio en función de un parámetro real

Question

Problema

Supongamos $f^{(t)}(z)=a_0^{(t)}+\dotsb+a_{n-1}^{(t)}z^{n-1}+z^n\in\mathbb C[z]$ todos los $t\in\mathbb R$ donde $a_0^{(t)},\dotsc,a_{n-1}^{(t)}\colon\mathbb R\to\mathbb C$ son continuas en a $t$. Es cierto que siempre hay un complejo de valores de función continua $\phi^{(t)}\colon\mathbb R\to\mathbb C$ tal que $f^{(t)}(\phi^{(t)})=0\;(\forall t\in\mathbb R)$?

Topológicamente,

Deje $S=\big\{\,(a_0,\dotsc,a_{n-1},z)\in\mathbb C^{n+1}\,\big\vert\,a_0+a_1z+\dotsb+a_{n-1}z^{n-1}+z^n=0\,\big\}$$\pi\colon S\to\mathbb C^n,(a_0,\dotsc,a_{n-1},z)\mapsto(a_0,\dotsc,a_{n-1})$. Es cierto que $\pi$ ha ruta de elevación de la propiedad (es decir, para cada mapa continuo $p\colon[0,1]\to\mathbb C^n$, no existe un mapa continuo $\tilde p\colon[0,1]\to S$ tal que $p=\pi\circ\tilde p$? (Lo siento, no puedo encontrar una buena referencia para ese término. En mi definición, no hay ninguna hipótesis de la unicidad.)

O algebraicamente,

Deje $R=\mathcal C(\mathbb R,\mathbb C)$ denotar el anillo de complejado con valores reales de funciones continuas. Es cierto que cualquier monic polinomio sobre $R$ tiene una raíz en $R$?

Discusión

Es cierto que no es una función de $\phi_{t_0}^{(t)}$ continua en $t=t_0$ tal que $f(\phi_{t_0}^{(t)})=0\;(\forall t\in\mathbb R)$, no importa si $t$ es real o complejo parámetro, o un parámetro de algún espacio de Hausdorff. De ello se deduce directamente desde, por ejemplo, el teorema de Rouché. Para una primaria de la prueba, ver a Michael Artin del Álgebra, la proposición 5.2.1(b). Una mayor nitidez de la proposición de que el problema original, es decir, sustituyendo el parámetro real $t\in\mathbb R$ con un complejo parámetro $w\in\mathbb C$, generalmente es demostrablemente falsa, es decir, no podría haber ninguna función continua a ser una raíz del polinomio. He aquí un contraejemplo: $f^{(w)}(z)=z^2-w$. Tenga en cuenta que hay un punto de ramificación en $w=0$, y si hacemos una arbitraria círculo alrededor del origen en el $w$-plano, veremos que una raíz no debe ser continua en toda la $w$-avión $\mathbb C$, de lo contrario, dejando $w$ viajes el círculo llevaría a una contradicción.

Parece cierto al $t$ es un parámetro real, ya que la dimensión es menor. No tengo idea de cómo atacar este. Espero su agradecidos ideas o sugerencias. Gracias!

Postscript

Hay un viejo post relacionados, pero no equivalentes informativo e interesante.

Answer 1

Deje $Pol_n$ denotar el espacio de grado $n$ monic polinomios. Usted tiene el natural mapa continuo $R: Pol_n \to Q= {\mathbb C}^n/S_n$ enviar cada polinomio para el conjunto de sus (desordenada) raíces; aquí $S_n$ es la permutación grupo en $n$ letras. Deje $q: {\mathbb C}^n\to Q$ el valor del cociente de mapa. La observación clave es que el mapa de $q$ tiene la ruta de levantamiento de propiedad (no singularidad de la grúa, se supone, sólo de la existencia). Este es un caso especial de la ruta de levantamiento de propiedad de orbifold revestimientos, Lema 4.1.3 aquí, o Lexema 2 en

M. Armstrong, El grupo fundamental de la órbita en el espacio de un discontinuo grupo. Proc. Cambridge Muerte. Soc. 64 (1968) 299-301.

Tenga en cuenta que Armstrong funciona incluso en mayor grado de generalidad, es decir, con la adecuada (pero no, en general, libre) discretas acciones del grupo localmente compacto metrizable espacios topológicos.

Ahora, podemos probar el camino de la elevación de la propiedad que usted está pidiendo. Tome un mapa $f: {\mathbb R}\to Pol_n$, componer con $R$. El resultado es un mapa $$g: {\mathbb R}\Q.$$ La aplicación de la ruta de arriba-elevación de la propiedad a $g$ obtenemos un ascensor $$\tilde g: {\mathbb R}\{\mathbb C}^n.$$ Deje $\tilde g_1$ denotar el primer componente de este ascensor (el "1er raíz del polinomio $f(t)$). A continuación, el mapa $$\tilde f: t\mapsto (f(t), \tilde g_1(t))\en Pol_n \times {\mathbb C}$$ es el ascensor que usted desea.

Edit: Armstrong de la prueba depende del Teorema 2 (camino de elevación de la propiedad para "abrir los mapas de iluminación") en

E. E. Floyd, "Algunas caracterizaciones de interior mapas". Ann. de Matemáticas. 51 (1950), 571-575.

Armstrong simplemente se observa que el cociente de los mapas como $q$ en su caso, son "light" y abrir": Abierto es claro (ya que es un cociente de mapa), "la luz" se sigue del hecho de que el punto de preimages son discretos finito (en su caso).

Por lo tanto, Floyd teorema se aplica. (Se necesita una pequeña compacidad argumento ya que Floyd se supone que el dominio y el rango son compactos, pero el camino de elevación de la propiedad es un problema puramente local, por lo que funciona localmente compacto espacios.)

Floyd papel está disponible (gratis) a través de Jstor, una vez que usted abra una cuenta gratuita con ellos.

Answer 2

No es una consecuencia de la continuidad de las raíces respecto de los coeficientes?

http://www.ams.org/journals/proc/1987-100-02/S0002-9939-1987-0884486-8/S0002-9939-1987-0884486-8.pdf

Posible problema: el "espacio de las raíces" no ${\Bbb C}$, pero un cociente.

Answer 3

Hay dos razones por las que $\pi$ no tiene la ruta de acceso de levantamiento de la propiedad.

En primer lugar, si $a_n$ es permitido a desaparecer, uno de los $n$ raíces complejas (o más, si más coeficientes se desvanecen al mismo tiempo), se dispara hasta el infinito. Por ejemplo, considere el polinomio $P_t(z) = tz + 1$ : al $t \neq 0$, tiene una única raíz $z = -1/t$, pero cuando $t = 0$, $z$ diverge a infinito. Este problema puede ser resuelto por cualquiera de restringir $a_n$ a valores distintos de cero, o la ampliación de la gama de $z$ a la esfera de Riemann $\Bbb C \cup \{ \infty \}$

En segundo lugar, la ruta de acceso puede no ser único. Esto sucede cuando se pasa a través de un polinomio que tiene una doble (o triple o más ...) de la raíz. Por ejemplo, si $P_t(z) = z^2 + t$, si comienzas a $t= -1$$z(-1)= 1$, tiene un único camino sólo hasta el $t=0$. A continuación, usted tiene dos opciones : usted puede tener (por $t > 0$) cualquiera de las $z(t) = +\sqrt t i$,$z(t) = - \sqrt t i$. Usted puede resolver este problema mediante la restricción de su polinomios a los polinomios cuyo discriminante no se desvanezca.

Si usted se pega con polinomios con un valor distinto de cero discriminante, esencialmente nada malo puede pasar. Usted debe ser capaz de aplicar alguna versión del teorema de la función inversa a una simple conectado barrio de $P$ a mostrar que las raíces de $P$ varían continuamente en los coeficientes y de forma inequívoca en ese barrio.

Answer 4

Creo que tengo un operador de la teoría de la formulación de su problema:

Dado un $n \times n$ matriz de valores de la función $B(t), \ t\in \mathbb{R}$ cuyas entradas son continuos, complejos de funciones con valores en $\mathbb{R}$, existe una función continua $\lambda(t), \ t \in \mathbb{R}$ tal que $\lambda(t)$ es un autovalor de a $B(t)$ todos los $t \in \mathbb{R}$?

Esto es equivalente a la analítica pregunta como cada polinomio característico de tales $B(t)$ es de la forma de su función de $f^{(t)}$, y cada polinomio de el lado derecho de la ecuación se puede interpretar como un polinomio característico de un compañero de la matriz. Esta formulación de la pregunta, parece ser respondidas en una vieja pregunta: Autovalores de la matriz con entradas que son funciones continuas.

Otros resultados en esa dirección se puede encontrar en T. Kato, teoría de la Perturbación de la linealidad de los operadores, en el Capítulo Dos, §5.