Calcular $\sum\arctan\frac1{3^n}$

Question

Encontrar la forma Cerrada de la expresión de la suma $$ \sum_{n=1}^{\infty}\arctan\left(1 \más de 3^{n}\right) $$

Observe que $\arctan\left(x\right) < x,\forall\ x > 0$, por lo que $\sum_{n = 1}^{\infty}\arctan\left(1 \over 3^{n}\right) < {1 \over 2}$.

Answer 1

Aviso para cualquier $x \in \mathbb{R}$, tenemos

$$\tan^{-1}x = \Im\log (1 + ix)$$ Esto implica $$\sum_{n=1}^\infty \bronceado^{-1}\frac{1}{3^n} = \Im\left\{\sum_{n=1}^\infty \log\left( 1 + \frac{i}{3^n}\right)\right\} = \Im\left\{ \log \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{i}{3^n}\right)\right\} + 2\pi N $$ para algunos $N \in \mathbb{Z}$. Por favor, tenga en cuenta que $\log z$ no está bien definida sobre el conjunto de la $\mathbb{C}$, se define sólo hasta un múltiplo entero de $2\pi i$. Es por eso que convertir la suma de registro de registro de producto, vamos a recoger un factor adicional $2\pi N$. Sin embargo, la suma en el lado izquierdo es lo suficientemente pequeño y cae dentro de la gama de $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, lo $N = 0$ en este caso en particular.

El q-símbolo de Pochhammer$(a;q)_{n}$ donde $n \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ se define como $$( a; q )_n = \prod_{k=0}^n (1 - aq^k )$$ Comparando con la igualdad anterior, obtenemos

$$\sum_{n=1}^\infty \tan^{-1}\frac{1}{3^n} = \Im\log\left( -\frac{i}{3}, \frac13 \right)_\infty$$

En WA, podemos evaluar HR utilizando la expresión Im[Log[QPochhammer[-i/3,1/3]]] y nos da un valor de $$\approx 0.487945758671045507547332675668307675519350963398192969940241$$

En cierto sentido, esto es sólo una refundición de la serie original de una forma más o menos equivalente a una función conocida. La única ventaja de esto es que el q-Pochhammer símbolos están bien estudiados. Hay más eficiente de algoritmos para calcular su valor, en lugar de preformación de la suma de $\tan^{-1}(\cdots)$ nosotros mismos.

Answer 2

Desde user92774 le dio un valor aproximado, si se utiliza la expansión de Taylor de $\arctan(x)$, el resultado de la suma (no olvides que la argumentación es la que se progresión geométrica) es

$1/2-1/78 + 1/1210 - 1/15302 + 1/177138 - 1/1948606 + 1/20726186 - 1/215233590 + ...$

La suma de estos términos da $0.487945758256695$, mientras que el $100,000$-ésima suma parcial es $0.487945758671045$.