Es "generalizada" de homología singular/cohomology una cosa? Si no, ¿por qué no?

Question

Por lo que entiendo, el singular de la homología de grupos de un espacio topológico se definen así:

Topológico De Datos. Hay un functor covariante $F : \mathbb{\Delta} \rightarrow \mathbf{Top}$ que asigna a cada número natural $n$ el correspondiente $n$-simplex. Esto produce un functor $$\mathbf{Top}(F-,-) : \Delta^{op} \times \mathbf{Top} \rightarrow \mathbf{Set}.$$ Hence to each topological space $X$, we can assign a simplicial set $\mathbf{Top}(F,X) : \Delta^{op} \rightarrow \mathbf{Set}.$

General de tonterías. Observamos que cada conjunto simplicial induce un simplicial abelian grupo, para que cada simplicial grupo abelian induce una cadena compleja; y que los complejos de la cadena tienen homología y cohomology grupos. Ergo, simplicial de los juegos de homología/cohomology grupos.

Poniendo a estos en conjunto, se puede hablar de la homología y la cohomology grupos de un espacio topológico $X$. Sin embargo, la topológico de datos no parecen demasiado importantes. De hecho, para cualquier categoría de $\mathbf{C}$ y cualquier functor $F : \Delta \rightarrow \mathbf{C}$, hay un conjunto simplicial $\mathbf{C}(F-,X)$ conectado a cada una de las $X \in \mathbf{C}$, y por lo tanto $X$ tiene homología y cohomology.

Por ejemplo, el conjunto subyacente functor $U : \mathbf{CMon} \rightarrow \mathbf{Set}$ ha dejado-adjoint $F : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{CMon}$. Pero desde $\Delta \subseteq \mathbf{Set}$$\mathbf{CMon} \subseteq \mathbf{Mon}$, esto produce un functor $F : \Delta \rightarrow \mathbf{Mon}$. Esto se debe a su vez nos permiten adjuntar homología y cohomology grupos para cada monoid $M$, al estudiar el conjunto simplicial $\mathbf{Mon}(F-,M)$.

Pregunta. Es esta cosa? Si no, ¿por qué no?

Answer 1

Si he entendido correctamente, usted tiene un cosimplicial objeto de $F^\bullet \in \mathsf{cC}$ (AKA un functor $F : \Delta \to \mathsf{C}$), y un objeto $X \in \mathsf{C}$; y usted está considerando el conjunto simplicial $\operatorname{Hom}_{\mathsf{C}}(F^\bullet, X) \in \mathsf{sSet}$. Seguro, la gente utiliza construcciones, como este de vez en cuando, es una construcción en general... Pero ya que es tan general que es difícil conseguir más específico que eso. Se produce en toneladas de diferentes configuraciones.

Yo no creo que sea realmente justo llamar a eso "la homología de $X$", ya que depende en gran medida de lo $F^\bullet$ es. Por ejemplo, cuando usted tiene una categoría tensored $\mathsf{sSet}$, dados dos objetos de $X$$Y$, se puede construir la asignación de espacio $$\operatorname{Map}_{\mathsf{C}}(X,Y) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{C}}(X \otimes \Delta^\bullet, Y) \in \mathsf{sSet}$$ que se utiliza muy a menudo, la satisfacción, entre otras cosas, $\pi_0 \operatorname{Map}_{\mathsf{C}}(X,Y) = [X,Y]$ es el conjunto de homotopy clases de mapa de $X \to Y$.

Aún más específicamente, el singular conjunto simplicial $S_\bullet(X)$ está dado por $\operatorname{Map}_{\mathsf{Top}}(*, X)$ (donde $\mathsf{Top}$ es tensored más de simplicial establece en la norma de la moda). Así que la homología es realmente un caso especial de un caso especial.

Lo que usted está considerando es muy general. La homología es muy interesante, porque satisface las cosas, como el Eilenberg–Steenrod axiomas, hemos teoremas como el de la UCT, Künneth del teorema de... Usted puede probar una gran cantidad de información acerca de homología mediante el establecimiento está considerando (por ejemplo, $\operatorname{Hom}_{\mathsf{C}}(F^\bullet, X \times Y) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{C}}(F^\bullet, X) \times \operatorname{Hom}_{\mathsf{C}}(F^\bullet, Y)$ es obvio, y entonces usted tiene la Eilenberg–Zilber teorema y, finalmente, Künneth de la fórmula), pero muchas otras propiedades dependen en gran medida de la específica $F^\bullet = |\Delta^\bullet|$.