Cómo hicieron los primeros matemáticos sin la teoría de conjuntos?

Question

Se dice que Cauchy fue pionero en el rigor en el cálculo y fundador de análisis complejo. Sin embargo, si me sorprende como la teoría de conjuntos es un invento de la década de 1870, 20 años después de la muerte de Cauchy. En la actualidad el principio de la mayoría de los conceptos en matemáticas comienza con el concepto de conjunto. Además, el concepto de grupos cuyos cimientos fueron puestos por Galois y Abel fueron hace tanto tiempo antes de que la teoría de conjuntos.

Espero que haya genral manera de responder a estas preguntas

1) Podemos definir funciones con un dominio y rango de ambos conjuntos. Pero cuando Cauchy se utiliza el símbolo " f(x)', ¿qué quiere decir realmente de él? Como Cauchy era conocido por su enfoque riguroso, es difícil creer que han usado la palabra función ambigua e intuitiva con satisfacción.

(Si la siguiente pregunta hace que el tema es demasiado amplio, yo estaría más que feliz de lista como una cuestión separada.

2)en cierta medida incluso puedo deshacernos de la idea de funciones antes de conjuntos. Pero yo simplemente no puede comprender cómo el concepto de grupo fue formulado sin un conjunto y estoy perplejo en cuanto a cómo Galois y Abel eran de forma independiente capaz de marco métodos para demostrar la unsolvability de la quintic (en estos días la prueba hace un uso generoso de la teoría de conjuntos)sin sets.

En estos días donde N, Z, Q y R de todos los conjuntos, ¿cómo fueron los primeros maestros de hacer lo que hizo? Cómo en la tierra fue de cálculo de manera rigurosa, sin los conjuntos de números diferentes?

Answer 1

Algunos consejos...

Puedes empezar a leer de Cauchy de la elucidación de la función (1823) :

En nomme cantidad variable de celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. En appelle al contrario quantité constante toute quantité qui reçoit une valeur fijo et déterminée.

[El nombre de la variable en una cantidad que recibe sucesivamente muchos valores diferentes. El nombre de constante de una cantidad que recibe un fijo y determinado valor.]

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles, que, la valeur de l'une d'elles étant donnée, en puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, en conçoit d ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l'une d entre elles, qui prend alors le nom de la variable indépendante; et les autres quantités, exprimées au moyen de la variable indépendante, sont ce qu'on appelle des fonctions de esta variable .

[Cuando algunas de las variables están vinculadas de una manera que, habiendo fijado el valor de uno de ellos, todos los demás cantidades puede ser determinado, en la concepción de estas cantidades diferentes, como se expresa por medio de uno de ellos, llamado variable independiente. Las cantidades restantes, expessed por medio de la variable independiente, se denominan funciones de esa variable.]

Así, en pocas palabras, el concepto de "función" fue un primitivo, como el de hoy para el conjunto. Una función es una correspondencia (relación) entre los dos "variables".

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Vale la pena señalar que de Cauchy de la definición de "cantidad variable" ya estaba presente en de L'Hôpital's libro de texto : Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1ª ed, 1696), el primer cálculo' libro de texto. Ver :

• Robert Bradley, & Salvatore Petrilli Y CEdward Sandifer (editores), L'Hôpital es Analizar des infiniments petits (2015).

Una aparición temprana de la "función" es en Leibniz, en la linea De ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus formata, easque omnes tangente, ca de novo en ea re Análisis infinitorum usu (1692), pero un "razonable" de la definición de la función está disponible sólo con Johann Bernoulli, Remarques sur ce qu'on un donne hasta ici de soluciones de des problemes sur les isopdrimitres (1718) y Leonhard Euler, Introducción en analysin infinitorum (1748).

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Acerca de grupo podemos ver, por ejemplo, Arthur Cayley : usa el nombre de "conjunto" en su definición de grupo (1854) :

Un conjunto de símbolos : $1,α,β,\ldots$, todos ellos diferentes, y tales que el producto de dos de ellos (no importa en qué orden), o el producto de uno de ellos en sí mismo, pertenece al conjunto, se dice que es un grupo.

Establecer aquí no es un objeto matemático : sin propiedades específicas de los conjuntos de asumir.

Answer 2

Recientemente he leído un libro erudito relevantes para esta pregunta.

Jeremy Gray, de Platón Fantasma: El modernismo de la Transformación de las Matemáticas

La transformación en cuestión va de 1880 a 1910 (a grandes rasgos). Gris explica cómo las matemáticas se hizo antes, la confusión que rodea el cambio, y cómo se ha hecho después.

Se recomienda. Pero no para los débiles de corazón.

Answer 3

Un ejemplo ilustrativo es proporcionada por estructuras algebraicas. Vamos a examinar de Cauchy de la explicación de su construcción de el anillo de los números complejos $\,\Bbb C$ (extraído de mi respuesta aquí).

Un gran logro de la definición teórica de estructuras algebraicas era eliminar imprecisa de la sintaxis y la semántica. La eliminación de la sintáctica término polinómico $\rm\ a+b\cdot x+c\cdot x^2\ $ y la sustitución por su conjunto riguroso de la teoría de la semántica de reducción de $\rm\:(a,b,c,0,0,\ldots)\:$ elimina muchas ambigüedades. Ya no puede haber ninguna duda sobre la precisión de denotación de los símbolos $\rm\: x,\; +,\;\cdot\:,$ o sobre el significado de la igualdad de polinomios, ya que, por un conjunto teórico de la definición, las tuplas son iguales si sus componentes son iguales. El conjunto de la teoría de la representación ("aplicación") de estos objetos algebraicos les da riguroso sentido, la reducción de su semántica a que de la teoría.

Del mismo modo para los números complejos $\rm\,a + b\cdot {\it i}\ $ y su conjunto de la teoría de la representación por Hamilton como pares de reales $\rm\,(a,b).\,$ Antes de Hamilton dio esta semántica reducción de $\,\mathbb C\,$ $\Bbb R^2,\,$antes de construcciones sintácticas (por ejemplo, por Cauchy) como formal de expresiones o términos de $\rm\:a+b\cdot {\it i}\:$ fueron objeto de fuertes críticas respecto a la denotación precisa de su componente de los símbolos, por ejemplo precisamente lo que es el significado de los símbolos $\rm\;{\it i},\, +,\, =\,?\, $ Dicho en más de una lengua moderna, Cauchy construye básicamente $\mathbb C$ $\,\Bbb R[x]\,$ mod $\,x^2+1,\,$ que hoy en día nos cosificar estructuralmente como el el cociente del anillo de $\rm\:\Bbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1)\cong \Bbb R[{\it i}].\,$ Cauchy intentado presentar esto en el lenguaje de congruencias (polinomio de aritmética modular). Sin embargo, en Cauchy del tiempo matemáticas carecían de la necesaria (teoría) las fundaciones rigurosamente definir el sintáctica de las expresiones que componen el polinomio anillo plazo-álgebra $\rm\mathbb R[x]$, y su cociente del anillo de la congruencia de las clases de $\rm\:(mod\ x^2+1).\,$ El mejor que podría Cauchy hacer era intentar describir las construcciones en términos de impreciso natural (humano) de la lengua, e.g, en $1821$ Cauchy escribió:

En el análisis, la llamada de una expresión simbólica de cualquier combinación de los símbolos o signos algebraicos que no significa nada por sí mismo, pero que uno de los atributos de un valor diferente de la que debería naturalmente [...] del mismo modo, llamamos simbólico ecuaciones de los que, tomada literalmente, y serán interpretadas conforme a las convenciones de en general, se estableció que son inexactos o no tienen ningún significado, pero a partir de la cual puede deducirse resultados precisos, cambiando y la alteración, de acuerdo a reglas fijas, las ecuaciones o símbolos dentro de [...] Entre las expresiones simbólicas y ecuaciones su teoría es de considerable importancia en el análisis, una distingue especialmente aquellos que han sido llamados imaginarios. $\quad$ -- Cauchy, Cours d'analyse de 1821, S. 7.1

Mientras que en la actualidad, el uso de la teoría de conjuntos, podemos rigurosamente interpretar este tipo de "expresiones simbólicas" como los términos de lenguajes formales o término de álgebras, estaba demasiado impreciso en Cauchy tiempo para tener la esperanza de hacer sentido a sus colegas, por ejemplo, de Hankel respondió mordaz:

Si uno fuera a dar una crítica de este razonamiento, no podemos realmente ver por dónde empezar. Debe haber algo "que no significa nada", o "que se le asigna un valor diferente esto, naturalmente, debe ser", algo que "no tiene sentido" o es "incorrecta", junto con otro tipo similar, la producción de algo real. Debe ser "algebraica de los signos" - son estos los signos de las cantidades o qué? como un signo debe designar algo - combinar unos con otros en una forma que tiene un "significado". Hago no creo que estoy exagerando en llamar a este un ininteligible juego de palabras, la mala evolución de las matemáticas, que es el orgullo y justamente orgulloso de la claridad y la evidencia de sus conceptos. $\quad$-- De Hankel

Por lo tanto, no es de extrañar que Hamilton eliminación de tales "sin sentido" símbolos - en favor de los pares de reales - sirve como un importante paso adelante en la colocación de los números complejos en un fundación más susceptibles a sus contemporáneos. Aunque no se dispone todavía de la teoría de conjuntos en la que rigurosamente axiomatize la noción de pares, eran mucho más fácil para aceptar ingenuamente - esp. dado el ya conocido de cerca asociada a la interpretación geométrica de los números complejos. Hamilton presentó pares como 'parejas' en $1837$ [1]:

p. 6: El autor reconoce con el placer que él está de acuerdo con M. de Cauchy, en la consideración de todos los (así llamados) Imaginaria de la Ecuación como una representación simbólica de dos separados de Ecuaciones: pero difiere en que excelente matemático en su método en general, y especialmente en la introducción de la señal sqrt(-1) hasta que él ha provisto para que, mediante su Teoría de las Parejas, una posible y real significado, como un símbolo de la pareja (0,1)

p. 111: Pero porque el Señor Tumbas empleados, en su razonamiento, el de costumbre, los principios de respeto sobre el Imaginario Cantidades, y fue contenido a probar la simbólica necesidad sin mostrar la interpretación o el significado interior, de sus fórmulas, la presentar la Teoría de las Parejas que se publica para manifestar que significado oculto: y para demostrar, por este notable ejemplo, que expresiones que parecen de acuerdo a puntos de vista comunes para ser simplemente simbólica, y absolutamente incapaz de ser interpretada, puede pasar en el mundo de los pensamientos, y la adquisición de la realidad y el significado, si Álgebra ser visto no como un mero Arte o el Lenguaje, sino como la La ciencia de Tiempo Puro. $\quad$ -- Hamilton, 1837

No es sino hasta mucho más tarde el desarrollo de la teoría era que explícitamente se dio cuenta de que los pares ordenados y, más en general, n-tuplas, servir un fundamental papel fundamental, proporcionar las materias primas necesarias para la construcción de materiales compuestos (suma/producto) las estructuras de las materias primas necesarias para la por encima de las construcciones de la polinomio de anillos y de sus cocientes. En efecto, como Akihiro Kanamori escribió en la página. 289 (17) de su muy interesante de papel [2] en la historia de la teoría de conjuntos:

En 1897 Peano formulada explícitamente el par ordenado mediante $\rm\:(x, y)\:$ y, además, levantó los dos puntos principales acerca de la par ordenado: en Primer lugar, la ecuación 18 de sus Definiciones mencionadas el instrumental de la propiedad, que es todo lo que se requiere de el par ordenado:

$$\rm (x,y) = (a,b) \ \ \iff \ \ x = a \ \ and\ \ y = b $$

Segundo, él mencionó la posibilidad de reducibilidad, escribiendo: "La idea de una pareja es fundamental, es decir, no sabemos cómo para expresar que el uso de los anteriores símbolos."

Una vez puesta en teoría se desarrolló plenamente uno tenía las materias primas (sintaxis y semántica) para proporcionar riguroso construcciones de estructuras algebraicas y precisa de idiomas para el término de álgebras. El polinomio anillo de $\rm\:R[x]\:$ hoy en día es simplemente un caso especial de mucho más general de construcciones de la libre álgebras. Tal equationally axiomatized álgebras y su génesis a través de los llamados 'las propiedades de la asignación universal' son algunos de los temas discutidos en detalle en cualquier curso de Álgebra Universal - por ejemplo, ver Bergman [3] para un particular lucidez presentación.

[1] William Rowan Hamilton. La teoría de conjugar las funciones, o algebraica de las parejas; con un preliminar de la primaria y el ensayo sobre el álgebra como la ciencia de tiempo puro
Trans. Real Academia Irlandesa, v. 17, parte 1 (1837), pp 293-422.)
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/PureTime/PureTime.pdf

[2] Akihiro Kanamori. El Conjunto Vacío, el Singleton, y el Par Ordenado
El Boletín de la Lógica Simbólica, Vol. 9, Nº 3. (Sep., 2003), pp 273-298.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.95.9839
PS http://www.math.ucla.edu/~asl/español/0903/0903-001.ps
PDF http://ifile.it/b20c48j

[3] George M. Bergman. Una Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones.
PS http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/
PDF http://ifile.it/yquj5w1

Answer 4

Podemos obtener una pista para una respuesta teniendo en cuenta que algunos de la actual licenciatura de los libros de texto que no suponga un conocimiento de la teoría de conjuntos, y no incluyen una definición formal de una función. Todavía hay un montón de libros.

Todo un curso de cálculo se pueden enseñar sin vivienda en la teoría de conjuntos. De hecho, yo sé que si tengo que enseñar el cálculo para una gran clase, lo peor que puedo hacer es pasar la mitad de una hora sobre el conjunto de cuestiones teóricas; puedo ver el esmalte liquidar a través de sus ojos (a excepción de la pequeña minoría de los estudiantes que en lugar de obtener un brillo de emoción en sus ojos, y que estoy constantemente en la búsqueda de).

Un estudiante puede ingerir lo que necesita saber acerca de derivados y sus aplicaciones, las integrales y sus aplicaciones, ecuaciones diferenciales, et cetera, y el estudiante es capaz de aplicar el cálculo en diferentes ramas de la investigación, sin jamás me gasto esa media hora en el conjunto de las cuestiones teóricas. Y eso es una buena cosa.

Answer 5

El término "teoría de conjuntos", como se usa en la frase "la teoría de conjuntos fue inventado en el siglo xix" no se refiere simplemente a "el concepto de una colección de objetos". Por supuesto, la gente siempre hemos entendido la idea de tomar un conjunto de cosas y refiriéndose a ellos por un solo nombre. Lo que era nuevo en el siglo xix fue la creación de un marco formal para hablar de mucho más complejo de problemas que involucran el infinito de conjuntos - cardinalidad, por ejemplo, o teoremas como el lema de Zorn. La Hipótesis Continua. No necesito ZFC para hablar sobre el conjunto de los dedos de mi mano izquierda, a la conclusión de que ese conjunto contiene cinco elementos, o que de su unión con el conjunto de los dedos de mi mano derecha contiene diez elementos. Así que esto es un poco como preguntar "¿Cómo se hizo hombre antiguo se sabe que los objetos sólidos sin saber acerca de la fuerza electrostática?".

Matemáticos de Cauchy tiempo del pensamiento de funciones como "reglas" que se asigna a una salida a cada número de entrada. No estoy seguro de por qué usted piensa que la moderna teoría de conjuntos es necesario con el fin de ser capaz de hablar acerca de este concepto.

Como para Galois y Abel, la noción de un grupo como un conjunto con los axiomas que se le impuso no existía hasta mucho más tarde, aunque estoy seguro de que no habría tenido ningún problema con esta definición, aparte de que no podría haber visto ninguna motivación. Ellos pensaban de grupos de permutación de grupos (finito) conjunto de soluciones de una ecuación - porque una vez más, no a tener una noción precisa de la Axioma De Extensionality o la undecidability de CH no impide a nadie hablar sobre el intercambio en torno a los elementos de un conjunto finito de objetos.