Pregunta sobre una desigualdad

Question

¿Cómo probar que $$ \frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\cdots+\frac{x_n}{1+x_1^2+\cdots+x_n^2}<\sqrt{n} $% $ de $ knowing that $(x_n) es una secuencia positiva? Busqué todo tipo de desigualdades tan AM-GM, Chebyshev, Cauchy-Schwarz, pero no pude gestionar obtener algo útil... ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Primero use la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle \left(\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\cdots+\frac{x_n}{1+x_1^2+\cdots+x_n^2}\right)^2 \le n\left(\frac{x_1^2}{(1+x_1^2)^2}+\frac{x_2^2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2}+\cdots+\frac{x_n^2}{(1+x_1^2+\cdots+x_n^2)^2}\right)$

Por lo tanto, basta para demostrar que: $\displaystyle \frac{x_1^2}{(1+x_1^2)^2}+\frac{x_2^2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2}+\cdots+\frac{x_n^2}{(1+x_1^2+\cdots+x_n^2)^2} < 1$

Desde $\displaystyle \frac{x_k^2}{(1+x_1^2+\cdots+x_k^2)^2} \le \frac{x_k^2}{(1+x_1^2+\cdots+x_k^2)(1+x_1^2+\cdots+x_{k-1}^2)} = \frac{1}{(1+x_1^2+\cdots+x_{k-1}^2)} - \frac{1}{(1+x_1^2+\cdots+x_{k}^2)}$

y $\displaystyle \frac{x_1^2}{(1+x_1^2)^2} \le 1- \frac{1}{(1+x_1^2)}$

Añadir la desigualdad anterior, el telescopio de límites superior

$\displaystyle \frac{x_1^2}{(1+x_1^2)^2}+\frac{x_2^2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2}+\cdots+\frac{x_n^2}{(1+x_1^2+\cdots+x_n^2)^2} \le 1 - \frac{1}{1+x_1^2+\cdots+x_n^2} < 1$.

Answer 2

Creo que la prueba puede ser dividida en dos partes: cuando todos los elementos son iguales, y luego, cuando ellos no son iguales, trata de demostrar que la suma sería menor que la suma de todos los elementos iguales (ya sea máximo o el mínimo de la secuencia).

Primer paso: para cualquier x puede ser sustituido por 1/x para aumentar la suma, si x > 1.

Segundo paso: Para x < y <= 1 y C >= 1, tenemos x / (C + x^2) < y / (C + y^2)

Tercer paso: vamos a reemplazar todos los elementos con x(k) = max de la secuencia y tienen una forma más cómoda fórmula de probar.

Cuarto paso: cuando todos los elementos son iguales, la suma es menor que 1/2 + 1/3 + 1/4 ... Que es el caso exacto, cuando todos los elementos son iguales a 1, y esta es una secuencia conocida, como la recuerdo