¿Es todo mapa monótono el gradiente de una función convexa?

Question

Hace poco, en un seminario, alguien mencionó que los mapas monótonos son equivalentes a los gradientes de las funciones convexas escalares, pero no me queda claro por qué es así. Una dirección de la equivalencia es directa, pero la otra no lo es (por lo que sé).

Definición. Un mapa $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ es monótono en un conjunto convexo $C$ si $$(y-x)^T(F(y)-F(x))\ge0$$ para todos $x,y \in C$ .

Una dirección de la equivalencia:

Hélice. Dejemos que $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea convexa y suficientemente diferenciable. Entonces $\nabla f$ es monótona.

Pf. Las funciones diferenciables convexas satisfacen $$f(y) \ge f(x) + \nabla f(x)(y-x).$$

Eligiendo los puntos a la inversa, también tenemos, $$f(x) \ge f(y) + \nabla f(y)(x-y).$$ Suma estas desigualdades y reordénalas para obtener $(\nabla f(y)-\nabla f(x))(y-x) \ge 0$ .∎

Ahora la otra dirección:

Hélice. Dejemos que $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ sea monótona y suficientemente diferenciable. Entonces existe una función convexa $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $F=\nabla f$ .

Pf. ???

Parece que esto debería ser fácil, pero estoy atascado y google/wikipedia me han servido de poca ayuda. De hecho estoy empezando a dudar de que sea cierto.

Answer 1

Todavía falta un poco de esto. En primer lugar, los conceptos de funciones convexas y operadores monótonos no están relacionados con el espacio euclidiano, por lo que dar las respuestas en términos de una elección de coordenadas $F = (F_1,F_2,...,F_n)$ no es lo ideal. En segundo lugar, las funciones convexas no son necesariamente diferenciables, sino que tienen una subdiferencial, y el mapa subdiferencial es monótono.

Así que la pregunta más amplia: ¿cuándo un mapa monótono es el subdiferencial de una función convexa?

Esa es una buena pregunta y fue respondida por el pionero del análisis convexo, Rockafellar. En su libro de 1970 tiene Thm 24.8 que cubre el caso del espacio euclidiano, y tiene artículos (1966 y esta corrección de 1970 https://sites.math.washington.edu/~rtr/papers/rtr031-MaxMonoSubdiff.pdf ) que cubren el caso general de los espacios de Banach.

El resultado es el siguiente: dejemos $F$ sea un mapeo, entonces es el subdiferencial de una función convexa propia cerrada (semicontinua inferior) $f$ si y sólo si $F$ es máximo cíclicamente monótono .

La definición de máximo cíclico monótono se puede encontrar en la primera página del documento de 1970 mencionado anteriormente (en la definición, hay $n$ puntos, y esto $n$ es arbitraria, no está vinculada a la dimensión).

Answer 2

No todos los campos $F$ son gradientes. Si $F=(F_1,\dots,F_n)$ es $C^1$ una condición necesaria para $F$ para ser un gradiente es que $$ \frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\frac{\partial F_j}{\partial x_i},\quad 1\le i<j\le n. $$

Answer 3

La respuesta de León tiene una afirmación correcta sobre la convexidad, pero sin pruebas. Creo que se debería dar una prueba en este hilo, para futuras referencias.

Propuesta . Supongamos que $f:U\to \mathbb R$ es un $C^1$ donde $U$ es un dominio convexo. Entonces las siguientes son equivalentes:

1. $f$ es convexo.
2. La restricción de $f$ a cada segmento de línea contenido en $U$ es convexo.
3. $\nabla f$ es monótona.

Prueba . La equivalencia de 1 y 2 es inmediata a partir de la definición de convexidad. Como la derivada de $f(x+tv)$ es $\langle\nabla f(x+tv), v\rangle$ la equivalencia de 2 y 3 equivale al hecho de que una función de una variable es convexa si y sólo si su derivada no es decreciente. $\Box$

Answer 4

Considere un $C^1$ campo vectorial monótono $f=(f_1,\ldots,f_n)$ en $\mathbb R^n$ . Si existe una función $G$ en $\mathbb R^n$ tal que $G'=f$ que $G$ es automáticamente convexo. Por lo tanto, la existencia de $G$ es lo único que hay que verificar.

Hélice. La función $G$ existe si y sólo si $\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i}$ para todos $i$ y $j$ .

El espacio $\mathbb R^n$ en contraclaro. Así que $H^1(\mathbb R^n)=0$ . En consecuencia, $f=dG$ cuando $df=0$ . Equivale a la condición $\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{\partial f_j}{\partial x_i}$ .

Answer 5

Me gustaría dar un contraejemplo

Dejemos que $F(x_1,x_2)=(-x_2, x_1)$ . Entonces $F$ es diferenciable y monótona. En efecto, para todo $(x_1, x_2), (y_1, y_2)\in\mathbb{R}^2$ tenemos \begin {eqnarray*} \langle F(x_1, x_2)-F(y_1, y_2), (x_1, x_2)-(y_1, y_2) \rangle &=& \langle (-x_2+y_2, x_1-y_1), (x_1-y_1, x_2-y_2) \rangle\\ & =& -(x_2-y_2)(x_1-y_1)+(x_1-y_1)(x_2-y_2) \\ &=&0. \end {eqnarray*} Supongamos que existe una función diferenciable $f(x_1, x_2)$ tal que $F(x_1, x_2)=\nabla f(x_1, x_2)$ . Entonces $$ \frac{\partial f}{\partial x_1}=-x_2, \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}=x_1. $$ Por el teorema de Schwarz tenemos $$ -1=\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}=\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}=1, $$ que es una contradicción.