¿Qué significan las personas por "finito"?

Question

Muchos de los argumentos acerca de los fundamentos y la filosofía de las matemáticas centro en la cuestión de si hay o no existen objetos o entidades (tales como ciertos juegos) que no son "finitos".

(Por ejemplo, Doron Zeilberger, aunque él es amante de los inocentes bromas, no parece estar bromeando aquí, o aquí.)

Para tales argumentos a todos, los participantes deberán compartir una cierta comprensión de lo que la palabra "finito".

Nunca he tomado parte en cualquier argumento, pero si tengo que hacerlo, me gustaría nerviosamente admitir que no sé lo que esta comprensión compartida es, y me gustaría preguntar si los demás se daría cuenta que la ortografía (aunque sólo sea para mi beneficio) qué es lo que ellos piensan que están discutiendo acerca de.

Sólo para anticipar dos posibles líneas de debate (suponiendo que yo no sólo fue recibido por aturdido o embarazoso silencio):

Si (suponiendo por el momento que no había controversia en cuanto a lo que es un "conjunto") alguien dice que un conjunto es finito si y solo si se puede poner en correspondencia uno a uno con un conjunto de la forma $\{1, 2, \ldots, n\}$ para algún número natural $n$, obviamente, esto sería abierto a la objeción de que da por sentado un entendimiento común de la existencia de un único conjunto de números naturales, conoce a todos los participantes en la discusión. Quizás podría también ser objetado porque aparentemente implica la realización de una posiblemente no termina búsqueda de un número $n.$ Pero incluso si eso no es un problema, que seguramente no puede ser el caso que una persona no puede incluso decirse que saber lo que la palabra "finito" significa , a menos que ya se acepta la existencia de la (definido de forma exclusiva) conjunto infinito de todos los números naturales.

(Zeilberger, para uno, es de suponer que estar dispuestos a hacer alguna objeción(s) a lo largo de estas líneas).

Si, por otro lado, alguien se puso adelante Dedekind la definición de que un conjunto es finito si y sólo si no se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo, esto podría ser objetado porque parece implicar que sólo se puede mostrar directamente un conjunto a es finito por probar algo acerca de la colección de todas las asignaciones de que el conjunto en sí, mientras que esto apenas puede ser de lo que nadie tiene en mente cuando insisten en que todos los objetos matemáticos debe ser finito, por lo tanto no puede ser acordados de común entendimiento de lo que la palabra "finito" significa.

(Tarski de la definición de que un conjunto es finito si y sólo si todos los no-vacío colección de subconjuntos contiene un elemento maximal está abierto a una protesta similar. También es Staekel la definición de un conjunto finito es uno que puede ser doblemente bien ordenada.)

Así, algún otra definición de "finito" tendría que ser acordado; pero, ¿qué podría ser?

Por supuesto, los participantes, independientemente de sus otros desacuerdos, podría silenciosamente de acuerdo sobre el silencio como única respuesta adecuada a tales ridículamente ingenuo e ignorante de que se trate; pero lo que si tenía que ser discutido, por ejemplo para el beneficio de un niño, cuya ingenuidad y la ignorancia podría ser excusado?

Answer 1

Si dos personas están discutiendo sobre si o no "todo" es "finito", entonces yo diría que la diferencia entre "no se puede poner en una correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo" y "tiene un bijection a algunos de $\{1,\ldots,n\}$", o cualquier otra definición de "finito", es básicamente irrelevante. Es muy raro que de repente se acuerda si meticulosamente elegido una definición común, así que ¿por qué molestarse? (Considere una situación análoga con la gente discutiendo sobre la "existencia" de "Dios").

Recuerde, incluso si una definición matemática formal fue asignado un determinado lenguaje natural nombre (como "finito" o "suave"), es sólo porque se sentía a la captura de algunos de los aspectos de concepto (al menos de acuerdo a la namer). Yo diría que la gente discutiendo sobre si "todo" es "finito" tiene un desacuerdo con respecto a la de lenguaje natural el concepto de "finito" en sí mismo; no necesita de acuerdo acerca de que las matemáticas aproximación a este concepto que más les gusta.

Answer 2

Bien. Este es un hueso duro de roer para responder correctamente.

La razón es simple, sin embargo. Finito es una de esas palabras que tiene una definición matemática, pero también un lenguaje natural definición y aquellos que están cerca, así que podríamos confundir los dos.

Esto es similar a lo que hace un conjunto de decir. Es un conjunto definido previamente noción, es un elemento de un modelo de $\sf ZF$ o $\sf Z$ o $\sf NF$ o $\sf KP$, o tal vez un objeto en la categoría de $\bf Set$. Hacer que cada conjunto tiene un juego de poder? Hacer cada definibles por el subconjunto de un conjunto es un conjunto?

Estas son nociones que son difusos, específicamente debido a que se toman como algo de primitivo nociones matemáticas.

Pero supongamos que se han sucedido a un acuerdo sobre la noción de "conjunto", y vamos a estar de acuerdo estipular que satisfecho algunos ingenuos teoría de conjuntos, que es cerca de sabor a $\sf ZF(C)$.

Ahora tienes varias opciones:

1. Afirmación de que los números naturales no son conjuntos. Son urelements, o algunas entidades atómicas que satisfagan los de segundo orden axiomas de la $\sf PA$. Por lo tanto, la pregunta ¿qué son los números naturales es discutible. Y un conjunto es finito si se puede asignar bijectively con un conjunto acotado de números naturales.

2. Definir los ordinales finitos, la afirmación de que la clase de los ordinales finitos es "definible" (ya sea como un conjunto, o como una clase adecuada si desea rechazar el axioma de infinitud). Demostrar que los ordinales finitos satisfacer $\sf PA$, por lo que son dignos de ser llamados "Los Números Naturales", y se reduce al caso anterior.

3. Utilizar una de las muchas nociones de lo finito, que no apelan a los números naturales. Estos incluyen, pero no limitado a, los siguientes:

   • Cada auto inyección es un surjection.
   • Cada auto surjection es un bijection.
   • Cada no vacía cadena de subconjuntos tiene un elemento maximal.
   • Todos los no-colección vacía de subconjuntos tiene un elemento maximal.

   Ten en cuenta, sin embargo, que a excepción de la última, el axioma de elección es generalmente necesaria para demostrar que esto es equivalente a la primera definición propuesta.

Se puede afirmar que el hecho de que hay definiciones que no son equivalentes en la ausencia de el axioma de elección significa que la finitud no está bien definida. Y esto es cierto. Usted puede argumentar que rechazar tanto el axioma de elección (y, de hecho, el axioma de contables de elección), y la definición habitual de la finitud. Pero también puede rechazar los axiomas de la inducción en $\sf PA$ y afirman que ellos son incompatibles, y usted puede rechazar la solidez de cálculo proposicional.

Usted puede hacer todas estas cosas, pero la matemática es un esfuerzo conjunto. Si usted no está dispuesto a aceptar en primitivas nociones como conjunto, como la finitud, como número natural, entonces el problema se encuentra en un nivel más profundo que esto.

Answer 3

Yo no veo nada interesante investigación filosófica aquí. Sus objeciones son puramente argumentativo.

Si usted es un finitist y creer que nada de lo infinito existe, entonces usted tiene una definición muy simple para un finito: todo.

Si usted no es un finitist y aceptar el axioma de infinitud, entonces usted puede utilizar cualquier definición adecuada. Con la elección, (creo) todos ellos son equivalentes, y sin opción sólo necesita ser más específico en cuanto a qué tipo de finito que está hablando.

Answer 4

Su pregunta me parece extraño, ya que en él se pregunta "¿Qué hace la gente decir por finito?", mientras que simultáneamente hablando de dos muy buenas definiciones del término.

Un conjunto $S$ es finito si existe un bijection de $S$ a una sección de los números naturales. Equivalentemente, $S$ es finito si cada inyección de $S$ a sí mismo es un bijection. Estas definiciones son lógicamente equivalentes, por lo que no hace ninguna diferencia que se utiliza como una definición y que uno puede demostrar como un teorema.

Elevar la objeción de que los números naturales definición requiere de un entendimiento común de lo que los números naturales son. Que un razonable punto, que es la razón por la que los matemáticos suelen definir los números naturales axiomáticamente o construir como parte de un sistema axiomático. Históricamente, los números naturales se define axiomáticamente el uso de los axiomas de Peano, pero en la moderna fundamentos de la matemática que puede ser construido mediante el uso explícito de la ZFC los axiomas de la teoría de conjuntos. Lo que esto significa es que el único nociones comunes que son necesarios para hablar de matemáticas, precisamente, son las reglas de la lógica simbólica.

Ahora, uno puede plantear la objeción de que los axiomas de ZFC puede ser incoherente, en cuyo caso toda nuestra discusión de las matemáticas es, desde un punto de vista formal, totalmente infructuoso. Presumiblemente, esto es lo radical finitists como Zeilberger creer. A pesar de que no hay forma de probar que los axiomas de ZFC son consistentes, que han estado funcionando bien hasta ahora, por lo que la responsabilidad recae en el finitists para demostrar una incoherencia.

Answer 5

Intuitivamente podemos decir que un conjunto es finito si termina el proceso de listar sus elementos. Formalmente, un conjunto es finito si está en biyección con 1,2,...,n para algún número natural n.