¿Es posible mostrar que ${\gamma^5}^\dagger = \gamma^5$, donde %#% $ de #% utilizando solamente las anticommutation relaciones entre matrices de $$ \gamma^5 := i\gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3,$, $\gamma$ $ y sin utilizar ninguna representación específica de esta álgebra y un argumento unitario invarianza, como se suele hacer?
Respuestas
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Como los comentarios de explicar, usted necesita saber algunas propiedades de la $\gamma$ matrices. Primero de todo, desde $$ \{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \eta_{\mu \nu} \mathbf{1}_4$$ se puede inferir que (dependiendo de la métrica, pero no en la representación de la dirac álgebra!) en (+---) métrica $\gamma_0$ es hermitian (sugerencia: ver el $\mu = 0, \nu = 0$ componente de la ecuación anterior), mientras que el $\gamma_i$ ($i = 1, 2, 3$) son anti-hermitian. (En -+++ métrica, esto podría ser intercambiados). Y esto debería permitir que usted para resolver el problema.
El hermicity propiedades se pueden resumir en $$ \gamma_\mu^\dagger = \gamma_0 \gamma_\mu \gamma_0$$ que se reproduce a la de arriba, si usted toma la conmutación propiedades en cuenta.
Jason Goemaat
Puntos
101
Trate de usar la definición de $\gamma^5$ y sólo se aplica la conjugación. Recuerde que la conjugación invierte el orden de las matrices, lo que significa que usted desea cambiar su orden antes de la aplicación de la conjugación.
A continuación, darse cuenta de que la anticommutation relaciones a dar una forma de intercambio de dos matrices gamma, dando sólo un signo menos (siempre que los índices son diferentes).
Por último, tenga en cuenta que, independiente de su convenio, usted tiene un número impar de anti-hermitian matrices en esta expresión (mientras que el resto es hermitian).
