Olimpiada Matemática Kosovo 2012 (problema 9 º grado)

Question

Que sea $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2011},a_{2012}$ enteros. Exatly 29 de ellas divisibles por 3 número muestran que $a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2+...+a_{2011}^2+a_{2012}^2$ es divisible por el número 3.

Answer 1

Esto es muy fácil de resolver una vez que sepa congruencias y más cuando son jóvenes y no. Es decir, un "complicado", aunque agradable, tipo de problema.

Hay 2012-29 = 1983 plazas que son todos 1 mod 3, desde plazas sólo pueden ser 0 o 1 mod 3 (si un = 2 mod 3 entonces ^ 2 = 4 mod 3 = 1 mod 3) y nos hemos excluido todos aquellos que son divisibles por 3. Su suma será igual a 1983 mod 3 = 0 mod 3 y así divisible por 3 ya que 1983 es divisible por 3.

Answer 2

Sugerencia $\,$mod principal $p:\ a\not\equiv 0\,\Rightarrow\, a^{p-1}\!\equiv 1,\,$ % que $\,a_1^{p-1}\! +\cdots+ a_n^{p-1}\! \equiv\:$el número de $a_i\! \not\equiv 0$