La Geometría algebraica frente a la Geometría Compleja

Question

Esta pregunta está motivada por esta uno.

Me gustaría escuchar acerca de los resultados sobre el complejo de variedades proyectivas

1. tienen un complejo de la analítica de la prueba, pero no se conoce la prueba de álgebra; o
2. tener una prueba de álgebra pero no se conocen complejo de la analítica de la prueba.

Por ejemplo, creo que no existe un equivalente de Mori s bend-y-break argumento de que evita la reducción de característica positiva. De modo que la existencia de racional curvas en Fano variedades sería un ejemplo de 2.

Answer 1

No sé si esto cuenta, pero durante mucho tiempo no fue sólo una analítica de la prueba de la descomposición de Hodge para el buen completa (es decir, compacta) complejo de variedades algebraicas. A continuación, Deligne-Illusie demostrado por métodos algebraicos. Todavía no existe la característica cero prueba algebraica de la descomposición de Hodge. Y sería genial si alguien da una prueba!

Answer 2

Aquí es uno que tengo curiosidad acerca de : Supongamos que X es una variedad más de $\mathbb{C}$. A continuación, sólo hay finitely etale cubre de X en cada uno de los grados.

Esto es demostrado en el SGA 1 en comparación con el clásico grupo fundamental, pero hay una puramente algebraica de la prueba?

Answer 3

Sobre tu ejemplo, no hay ninguna analítica de la prueba de la existencia de racional curvas en Fano colectores. Este es uno de los sueños de los complejos de los geómetras... También se puede considerar esta más débil declaración: dado un Fano colector de $X$, se puede construir una curva entera (es decir, una constante holomorphic imagen del plano complejo) por métodos analíticos? Aún no se conoce...

Por otro lado, no hay una prueba algebraica es conocido por la invariancia de plurigenera para las variedades no de tipo general (el de la analítica de la prueba es debido a Siu, más tarde perfeccionado por Paun, y la prueba algebraica para las variedades de tipo general es debido a Kawamata).

Answer 4

Si $X$ es una adecuada curva de genues $g$ a través de una algebraicamente cerrado de campo $K$ carácter $0$ y $$ U un subconjunto abierto, decir obtenidos mediante la eliminación de $n$ cerrada puntos de $X$, a continuación, en comparación con la topología compleja (más precisamente, por la de Riemann Teorema de Existencia) se puede derivar que $\pi_1^{et}(U)$ es isomorfo a la profinite de la finalización del grupo $$\lt a_1,\ldots,a_g, b_1,\ldots,b_g,c_1,\ldots,c_n|[a_1,b_1]\cdot\ldots\cdot[a_g,b_g]c_1\ldots c_n\gt$$ Que yo sepa, no hay ninguna prueba algebraica para este hecho.

Answer 5

Me he preguntado si el siguiente es un ejemplo de la 1, pero no soy lo bastante expertos en álgebra saber.

El conjunto de puntos suaves de una irreductible complejo proyectiva, en la variedad está conectado en el clásico de la topología.

El argumento sé que va como esto: Supongamos que se había desconectado, un discontinuo de la unión de $A$ y $B$, dicen. Estos son localmente analíticos conjuntos. Entonces, por el teorema de Remmert y Stein, sus cierres $\overline{A}$ y $\overline{B}$ son analíticos conjuntos. A continuación, Chow parte de la GAGA principio, $\overline{A}$ y $\overline{B}$ es una variedad, y la variedad original, no es irreducible.

Siempre me he preguntado si se puede evitar el Remmert-Stein teorema en el medio (sin el uso de Hironaka del teorema).