Este teorema sobre matrices de mapas lineales ' mira t correcto.

Question

Considere el siguiente teorema:

Teorema. Deje $f\colon L\to M$ ser un lineal de asignación de finito-dimensional espacios vectoriales. Luego existen bases en $L$ $M$ natural y un número $r$ tal que la matriz de $f$ en estas bases tiene la forma $(a_{ij})$ donde $a_{ii}=1$ $1\leq i\leq r$ $a_{ij}=0$ para los otros valores de $i,j$. Además, $r$ es el rango de $f$.

Este teorema no tiene mucho sentido para mí. No implica que, por ejemplo, si $L$ $M$ tienen la misma dimensión, cada inyectiva lineal mapa puede ser representado por la matriz identidad en alguna base? Esto se ve raro.

Puede usted comentar sobre esto? Es un teorema en la Sección 8, Capítulo 1 de Kostrikin y Manin del libro "Álgebra Lineal y Geometría". En realidad, no es copiado palabra por palabra, pero creo que escribí exactamente lo que quería decir.

Answer 1

Sí, eso implica exactamente lo que usted ha dicho. Recuerde que lineal mapa entre espacios vectoriales de la misma dimensión finita es inyectiva si y sólo si es surjective si y sólo si es bijective. Además, es un buen ejercicio para llevar a cabo un mapa siempre lleva un conjunto linealmente independiente en un conjunto linealmente independiente, lo que implica que en este mapa se toma una base de $L$ a una base de $M$ (cuando tienen la misma dimensión).

En este caso, elegir cualquier base $\{e_i\}$ $L$ y, a continuación, considere la posibilidad de $\{fe_i\}$ como base de $M$. A continuación, la matriz de $f$ con respecto a estas bases es la identidad.

Answer 2

Tal vez usted está confundido, porque usted sabe que si usted fuera a tener un inyectiva lineal mapa de $g:L\rightarrow L$, entonces no tendría que ser necesariamente cierto que había una base de $L$, de modo que la matriz de $g$ en esta base fue el de la identidad.

Pero la declaró teorema habla de un inyectiva lineal mapa de $f:L\rightarrow M$, entre dos espacios vectoriales. Así que estamos considerando la posibilidad de escoger una base de $L$ e (completamente por separado) escoger una base de $M$. Esto nos da mucha más libertad, de hecho suficiente para hacer que el teorema de la verdad.