En el libro de Hilbert Geometría e imaginación dijo que
La esfera es la única superficie que puede generarse por rotación de más de una manera. más de una forma.
Es bastante intuitivo, pero no puedo dar una prueba rigurosa.
¿Cómo demostrarlo?
PD: Aquí rotación significa girar una curva cerrada con respecto al eje de simetría de la misma que está en el mismo plano.
Sea $S$ sea un subconjunto no vacío de $\mathbb R^3$ que puede generarse girando una curva cerrada $C$ en torno a $a$ y también es invariante bajo rotación alrededor de $b$ . Entonces $S$ es compacto y conexo porque $C$ es compacta y conexa.
Si $a$ y $b$ do no se cruzan, que $c$ sea una línea que interseca ambas $a$ y $b$ perpendicularmente. Entonces la rotación por $\pi$ en torno a $a$ seguido de rotación por $\pi$ acerca de $b$ dejar $c$ fija pero trasládala el doble de la distancia entre $a$ y $b$ . Por lo tanto, esto es lo mismo que un funcionamiento del tornillo a lo largo de $c$ y causa $S$ sea ilimitada, lo que contradice la compacidad.
Si $a$ y $b$ se cruzan (wlog. en el origen), sus rotaciones generan todas las $SO(3)$ como dice joriki. Por lo tanto un solo punto $x\in S$ tiene como órbita una esfera alrededor del origen (o consiste en $x$ solo si $x=0$ ). Concluimos que $S$ es la unión de esferas concéntricas.
Desde $S$ es compacta y conexa, esto deja sólo las posibilidades $$\tag1 S=\{0\} $$ $$\tag2S=\{x\in\mathbb R^3 \colon |x|=r\}\text{ for some }r>0$$ $$\tag3S=\{x\in\mathbb R^3 \colon |x|\le r\}\text{ for some }r>0$$ $$\tag4S=\{x\in\mathbb R^3 \colon r_1\le |x|\le r_2\}\text{ for some }0<r_1<r_2.$$ El único caso que realmente conduce a una superficie es de hecho $(2)$ . Los demás casos pueden obtenerse con curvas exóticas adecuadas.
Una superficie de revolución tiene el mismo aspecto en todos los puntos relacionados por rotaciones alrededor del eje de revolución. Si esto es cierto para dos ejes, se deduce que tiene el mismo aspecto en todas partes. Eso implica, entre otras cosas, que la curvatura es la misma en todas partes, lo que sólo es cierto para la esfera.
Los dos ejes de rotación deben pasar por el centro de masa. Las rotaciones en torno a dos ejes diferentes que pasan por el mismo punto generan todas $SO(3)$ por lo que la superficie es invariante bajo todas las rotaciones alrededor de ejes que pasan por ese punto; esto también es cierto sólo para la esfera.
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