¿La incertidumbre implica la no conmutatividad?

Question

Ya sabemos que la no conmutatividad de los observables conduce a la incertidumbre en la mecánica cuántica cf. por ejemplo este y este Post de Phys.SE. ¿Y lo contrario? ¿La incertidumbre implica la no conmutatividad?

Si la versión estadística de un principio de incertidumbre (es decir, en términos de desviación estándar) se supone que se mantiene en un álgebra de observables, ¿podemos deducir de esto que el álgebra de operadores del entorno es necesariamente no conmutativa? (Digamos que damos la noción de desviación estándar como en el principio de incertidumbre de Robertson).

EDIT: A la luz de la primera respuesta, debo aclarar: Si hay un límite inferior universal para la medición de las desviaciones estándar en cuestión, ¿debe haber no conmutatividad?

Permítanme reformular la pregunta:

Pregunta: ¿Por qué la presencia de una relación de incertidumbre estadística implica que necesitamos una teoría cuántica no conmutativa?

Supongo que la cuestión es que la explicación "matricial" de Heisenberg para Rydberg-Ritz implica de forma chocante la relación de incertidumbre. En particular, imaginando que el espacio de fase clásico es un círculo, el conjunto de funciones de valor real sobre el espacio son los observables, y suponemos que estas funciones pueden expandirse en series de Fourier... y entonces por la transformada de Fourier el álgebra de observables se identifica con el álgebra de convolución de los enteros. En el caso cuántico, Rydberg-Ritz da que debemos reemplazar el álgebra de convolución abeliana anterior por el álgebra de convolución de un groupoide...por lo tanto un álgebra matricial no conmutativa. A partir de esta no conmutación, se puede deducir la relación de incertidumbre. ¿Es posible que exista una relación de incertidumbre fundamental entre observables conmutativos? No existe ninguna razón experimental para pensarlo, salvo el hecho de que la teoría no conmutativa lo predice para los observables no conmutativos... Debería estar un poco avergonzado de esta pregunta, ya que no hay ninguna razón física para pensar que sea verdad por ahora. Sin embargo, lo pregunto de todos modos...

Creo que la primera respuesta es suficiente, y que la respuesta es no, pero me interesaría cualquier otra idea sobre el grado en que la incertidumbre debería forzar una teoría cuántica no conmutativa.

Answer 1

I) OP escribió(v5):

¿La incertidumbre implica la no conmutatividad?

En la práctica, No, no necesariamente. En muchas situaciones realistas $^1$ será imposible conseguir la varianza

$${\rm Var}(\hat x) ~:=~\langle (\hat x-\langle \hat x\rangle)^2\rangle $$

de un observable hermitiano, digamos $\hat x$ por debajo de algún límite positivo $\epsilon>0$ debido a diversas limitaciones experimentales (más que fundamentales). Pero no concluiríamos que el operador $\hat x$ no conmuta $^2$ ¡con ella misma!

II) Uno puede preguntarse cómo dedujo Heisenberg la no conmutatividad entre $\hat q$ y $\hat p$ en su mecánica matricial ¿versión de la mecánica cuántica? De hecho, no lo dedujo a partir de mediciones experimentales directas de la varianza de $\hat q$ y $\hat p$ . Más bien utilizó una combinación de (i) comportamientos observados conocidos de los sistemas cuánticos y (ii) argumentos teóricos basados en las representaciones de Fourier, véase por ejemplo Wikipedia y este Para más detalles, consulte el artículo de Phys.SE.

III) Para contrarrestar cualquier malentendido, tal vez debamos subrayar aquí el hecho de que la incertidumbre en Relaciones de incertidumbre de Heisenberg es una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos, y no es una afirmación sobre el éxito observacional de la tecnología actual.

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$^1$ Especialmente si el observable $\hat x$ no conmuta con el Hamiltoniano $\hat H$ .

$^2$ Cualquier operador (Grassmann-par) conmuta consigo mismo.

Answer 2

No . No conmutatividad implica incertidumbre, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, en la teoría clásica encontramos incertidumbres estadísticas como $\Delta x \Delta k \gt 0$ sobre posiciones y vectores de onda, pero el álgebra subyacente es conmutativa. Esas incertidumbres reflejan la ignorancia, (por ejemplo, una pequeña incertidumbre en el momento de una partícula genera a su vez una incertidumbre en la posición de la misma). En la mecánica cuántica la incertidumbre es ontológica, no epistémica. La incertidumbre cuántica refleja la falta de un estado propio común para los observables no conmutativos.

Answer 3

Bien. Formulemos el principio de incertidumbre: Si A y B son dos observables tales que [A,B]=C, entonces tenemos que $$ \Delta A\Delta B\geq \frac{1}{2}|\langle[A,B]\rangle|\equiv \frac{1}{2} |\langle C\rangle|. $$ Esto significa que, si C difiere de 0, si encontramos un estado tal que $\langle C\rangle=0$ entonces tenemos que $\Delta A\Delta B\geq 0$ . Este es, por ejemplo, el caso del espín (matrices de Pauli): supongamos $A\equiv\sigma_x$ y $B\equiv\sigma_y$ entonces $C=i\sigma_z$ y si consideramos un estado propio de $\sigma_x$ tenemos que $\langle C\rangle=i\langle\sigma_z\rangle=0$ .

@Qmechanic ¡IMPORTANTE! El principio de incertidumbre es sólo en parte ¡relacionados con la varianza o el error que podemos obtener en un experimento! Esto es lo que pensaba Heisenberg cuando formuló el principio, pero se equivocó. El principio de incertidumbre es, en cambio, una propiedad fundamental de la mecánica cuántica. Una prueba experimental de esto se puede encontrar en http://arxiv.org/pdf/1201.1833.pdf .

Answer 4

Si dos observables compactos conmutan tienen un vector propio normalizado conjunto $\psi$ en el que ambos observables tienen varianza cero.

En el caso de los observables no compactos sólo tenemos eigenvectores no normalizables, pero éstos pueden ser arbitrariamente bien aproximados por estados normalizables, en los que ambos observables tienen una varianza arbitrariamente pequeña.

Por lo tanto, un límite inferior en el producto de las variantes implica la conmutatividad.