Pregunta sobre las funciones holomorfas

Question

Trato de mostrar:

Dejemos que $f: \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} $ sea holomorfo con $$\Re(f)+\Im(f)=1 $$ entonces $ f $ es constante.

( $\Re$ = Parte real, $\Im$ = Parte imaginaria)

Tengo ciertas ideas una es utilizar el teorema de Liouvilles sobre funciones acotadas pero no estoy seguro si la información dada ya implica que $f$ está acotado. Consideremos, por ejemplo $f(x)=1 + (1 - i) \Re(x)$ entonces $f$ no está acotado (aquí falla porque $f$ no es holomorfo). Pero no sé cómo podría utilizar el hecho de que $f$ es holomorfa para demostrar que está acotada.

Answer 1

$f(z) = u(z) + iv(z), \quad u(z) = 1-v(z)$ :

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x}$$

$$\implies \quad 0 = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$$

q.e.d.

Answer 2

Sugerencia: utilice Ecuaciones de Cauchy-Riemann .

Answer 3

La imagen del plano bajo este mapa debe alinearse dentro de una línea. Aplicar el teorema del mapa abierto: las funciones analíticas no constantes son mapas abiertos. Como la imagen de cualquier conjunto abierto no puede ser abierta, esta función debe ser constante.

Answer 4

La condición es equivalente a $g(z)=(1-i)f(z)$ es real para todos los complejos $z$ . Tenga en cuenta que si $f=k+ik$ entonces $(1-i)k(1+i)$ es real. La parte imaginaria de $g(z)$ se desvanece - es una forma equivalente de expresar su condición.

Los derivados de $g(z)$ con respecto a $z$ que existe porque $g(z)$ es holomorfo al igual que $f(z)$ se puede calcular como $$\frac{dg(z)}{dz} = \frac{dg(z)}{dz_1} = \frac{\partial g_1(z)}{\partial z_1} + i \frac{\partial g_2(z)}{\partial z_1} = \frac{\partial g_2(z)}{\partial z_2} + i\frac{\partial g_2(z)}{\partial z_1}$$ por las ecuaciones de Cauchy-Riemann. He utilizado una de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para reescribir la derivada parcial de la parte real (el primer término) en una derivada de la parte imaginaria. Obsérvese que el primer paso fue definir la derivada con respecto a $z$ como la derivada con respecto a la parte real de $z$ . En realidad es lo mismo para las funciones holomorfas.

Si el primer o segundo término tiene un signo equivocado, o si el $i$ debería estar en el primer término y no en el segundo, no hay diferencia. Pero como la parte imaginaria de $g$ , $g_2$ se supone que es cero, $dg_2(z)/dz$ también es cero, y por lo tanto $g$ es constante, y por lo tanto $f$ también es constante.

Un mensaje más general: Cualquier restricción similar depende de forma no natural tanto de la parte real como de la imaginaria - en lugar de la totalidad $z$ obligará a cualquier función holomorfa a ser constante. Las funciones holomorfas en realidad pretenden que las operaciones "parte real" y "parte imaginaria" sean inapropiadas. Eso es porque la "parte real" y la "parte imaginaria" no son funciones holomorfas en sí mismas.

Answer 5

Podemos utilizar Teorema de Picard en este también. Nuestra función es entera y $0,2$ no son a imagen y semejanza de $f$ . Esto obliga a $f$ para ser constante.