Para cualquier $n\in\mathbb N$, vamos a $h(n)$ significa que la distancia de $n$ hasta el siguiente potencia de $2$, es decir, en símbolos,
$$ h(n) = 2^{\lfloor 1+\log_2 n\rfloor} - n $$
Es fácil ver que si $a+b$ es una potencia de $2$$a\le b$,$a=h(b)$. Por lo tanto, la condición de $T$ es equivalente a decir que el $T$ no contiene tanto $b$ $h(b)$ cualquier $b$, o en otras palabras $T\cap h(T)=\varnothing$.
Deje $S^*$$S\setminus h(S)$, los elementos de $S$ que no son afectados por $h$. Estos elementos son "gratis" para agregar a $T$ en el sentido de que si $T_1$ cumple la condición, entonces
$$ T_2 = \bigl(T_1 \setminus h(S^*)\bigr) \cup S^* $$
será otro de los calificativos $T$, y además de la $T_2$ que tiene al menos tantos elementos como $T_1$. Es decir, cada elemento de a $h(S^*)$ $T_1$ pero es eliminado corresponde a al menos un elemento de a $S^*$ que es añadido.
Por lo tanto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que un $T$ de la talla máxima contiene $S^*$.
Para$S=\{1,2,3,\ldots,1000\}$,$S^*=\{513,514,\ldots,1000\}$, por lo que estos $488$ elementos son, sin duda, en $T$. Y $h(S^*)=\{24,25,\ldots,511\}$, por lo que estos elementos no pueden estar en nuestra $T$. Tampoco se puede de $512$, por supuesto, ser una potencia de $2$ sí.
Así que todos tenemos que hacer ahora es un suplemento con tantos elementos de la $S_2=\{1,2,3,\ldots,23\}$ como podemos. Pero eso es sólo un pequeño ejemplo de que el problema ya estamos de problemas, por lo que podemos proceder de forma recursiva:
$$ S_2^* = \{17,18,\ldots,23\} \\
h(S_2^*) = \{9,10,\ldots,15\} \\
S_3 = \{1,2,\ldots,7\} $$
(ignorando $8$ que es poder de $2$)
$$ S_3^* = \{5,6,7\} \\
h(S_3^*) = \{1,2,3\} $$
en el cual se han agotado la totalidad de la original $S$. Por lo tanto, una $T$ con tamaño máximo es
$$ \{5,6,7,17,18,\ldots,22,23,513,514,\ldots,1000\}$$
con
$$ 3+7+488 = 498 $$
elementos.
Esta no es la única posible, $T$ $498$ elementos, sin embargo. Por ejemplo,
$$ \{5,6,7,17,18,\ldots,22,23,24,513,514,\ldots,999\}$$
también podría trabajar.
