Checkboard matriz, nuevo o viejo?

Question

Ok, así que lo que me encontré fue una matriz cuadrada de orden $n×n$ donde $n$ de la siguiente manera $2m+1$ y $m$ es un número natural

el patrón de estas matrices seguir es el siguiente:

por un costo de $3×3$ matriz: $$ A = \left( \begin{array}{ccc} b & un & c \\ a & a+b+c & a \\ c & a & b \end{array} \right)$$ y lo bueno es que $$ A^x = \left( \begin{array}{ccc} p & p & r \\ p & p+q+r y p \\ r & p & q \end{array} \right)$$ donde $ x $ es cualquier número natural

Ahora por $5×5$ se va como $$ A = \left( \begin{array}{ccc} b & b & & c & c\\ b & b & & c & c\\ a & un & 2b+a+2c & a & a\\ c & c a & b & & b\\ c & c a & b & & b\end{array} \right)$$ y de nuevo $$ A^x = \left( \begin{array}{ccc} q & q & p & r & r\\ q & q & p & r & r\\ p & p & 2t+p+2r & p & p\\ r & r & p & q & q\\ r & r & p & q & q\end{array} \right)$$

Una vez más, por un valor de $7×7$ matriz tenemos $$ A = \left( \begin{array}{ccc} b & b & b & & c & c & c\\ b & b & b & & c & c & c\\ b & b & b & & c & c & c\\ a & a & un & 3b+a+3c & a & un & \\ c & c & c & a, & b & b & b\\ c & c & c & a, & b & b & b\\ c & c & c & a, & b & b & b\\ \end{array} \right)$$ y, a continuación, $$ A^x = \left( \begin{array}{ccc} q & q & q & p & r & r & r\\ q & q & q & p & r & r & r\\ q & q & q & p & r & r & r\\ p & p & p & 3t+p+3r & p & p & p\\ r & r r & & p & q & q & q\\ r & r r & & p & q & q & q\\ r & r r & & p & q & q & q\\ \end{array} \right)$$

y así sucesivamente y así sucesivamente, no he encontrado si esto ya ha sido observado y ni un nombre para esto, así que estoy llamando a este checkboard de la matriz, porque parece que.

Sólo tengo una pregunta, esto ha sido encontrado ya, si sí, por favor proporcione detalles.

Addendum: Gracias a Robert Israel por señalar el error, he hecho algunos cambios, por favor, compruebe en ella. El patrón para la media del elemento es de $ m (b+c)+$

Answer 1

Para lo que vale, el conjunto de matrices de esta forma establecer un subgrupo del grupo aditivo de la matriz de anillo. Como Robert señala, además, forman un sub-anillo para $n=3$, que es muy interesante.

En cuanto a si o no que alguien ha construido una matriz y se encuentra esta propiedad: es posible que ellos tienen, pero como dijo Pedro no vale la pena la publicación de un documento completo acerca de estas matrices, simplemente porque se ven bonitos y se comportan bien en virtud de exponenciación. Tal vez si usted podría hacer más trucos con ellos usted puede obtener publicado en una de matemáticas recreativas de la revista. Artículos publicados en revistas tienden a tener los resultados que son aplicables a algo, incluso si esa cosa es pura matemática. Esta es, realmente, matemáticas recreativas, porque no hay ningún otro propósito que el de observar algo interesante.

Answer 2

De los $3 \times 3$ caso, tiene la propiedad conmutativa de anillo (con identidad) generada por $\pmatrix{0 & 1 & 0\cr 1 & 0 & 1\cr 0 & 1 & 0\cr}$. Para el $2n+1 \times 2n+1$ caso $n > 1$, usted puede tomar el anillo conmutativo (sin identidad) generado por el bloque de matrices $\pmatrix{0_{n,n} & 0_{n,1} & 1_{n,n}\cr 0_{1,n} & n & 0_{1,n}\cr 1_{n,n} & 0_{n,1} & 0_{n,n}\cr}$ y $\pmatrix{0_{n,n} & 1_{n,1} & 0_{n,n}\cr 1_{1,n} & 0 & 1_{1,n}\cr 0_{n,n} & 1_{n,1} & 0_{n,n}\cr}$ (donde los bloques son de tamaños de $n$, $1$ y $n$, y $0_{i,j}$ o $1_{i,j}$ es un $i \times j$ bloque llena con $0$'s, o $1$'s).

EDIT: Esto le da a usted las matrices de la forma $$\pmatrix{un \; 1_{n,n} y b \; 1_{n,1} y c\; 1_{n,n} \cr b \; 1_{1,n} y n(a+b) y la parte b \; 1_{1,n}\cr c\; 1_{n,n} y b \; 1_{n,1} &\; 1_{n,n}\cr}$$

Answer 3

Aquí está mi intento de explicar el patrón con cosas ya conocidas:

Podemos expresar la matriz como $$ A = \pmatrix{ bX y ax & cX\\ ax^T & (a+b+c) & ax^T\\ cX & ax y bX} $$ Donde $x = (1,\dots,1)^T \en \Bbb R^n$ y $X = xx^T$. Tenga en cuenta que $Xx = \|x\|^2x = nx$.

Extender $u_1 = x/\sqrt{n}$ en una base ortonormales $u_1,\dots,u_n$. Deje que $U$ ser $n \times n$ matriz con columnas de $u_i$.

Solicitar el cambio de base $S^{-1} = S^TAS$ donde $$ S = \pmatrix{U\\&1\\&&U} $$ Nos encontramos $$ S^{-1} = \pmatrix{ nbE_{11} & \sqrt n un e_1 & cn E_{11}\\ un\sqrt n e_1^T & (a+b+c) y un\sqrt n e_1^T\\ cnE_{11} & \sqrt n e_1 & b, n E_{11} } $$ donde $e_1 = (1,0,\dots,0)^T$ es el primer estándar de la base de vectores, y $E_{11} = e_1e_1^T$.

Usted debe encontrar que esta nueva matriz tiene las mismas propiedades, y un poco menos del misterio.

Así, en el $5 \5 veces el$ caso, nos quedamos con $$ S^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 2b & 0 & \sqrt 2 a & 2c & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \sqrt 2 & 0 & a+b+c & \sqrt 2a & 0\\ 2c & 0 & \sqrt 2a y 2b & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) $$