¿Número de pedido bien las relaciones en un conjunto infinito puede pedir bien $A$?

Question

Dado un conjunto infinito puede pedir bien $A$, podemos siempre decir que el conjunto de $$\left\{R\in A\times A:\langle A,R\rangle\, \text{is a well-ordering}\right\}$$ has cardinality $2 ^ {| A |} $? ¿Cuanta elección se requiere para la prueba de esto?

Creo que donde $A$ es infinito numerable, podemos proceder sin ningún uso de la opción. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Este es un asunto delicado. ¿Te refieres a todos el bien o pedidos solo hasta el isomorfismo?

Para el ex observar, por ejemplo, que si un conjunto $A$ tiene una buena ordenación, a continuación, cualquier permutación induce a una de las diferentes pedidos, a pesar de que el mismo tipo de orden. Para los números naturales hay $2^{\aleph_0}$ muchas permutaciones así que hay al menos continuo que muchos de los pedidos, y que es sólo de un isomorfismo tipo! Por otro lado, sólo puede haber continuidad de muchas relaciones, por lo que hemos agotado la cardinalidad.

Podemos continuar por inducción sobre el $\aleph$-cardenales, en realidad, esta es la única manera que se puede reanudar. Por qué? Así, si un conjunto tiene cualquier bien que ordena entonces que tiene que ser en bijection con un ordinal, y si es infinito este ordinal puede ser un $\aleph$-número. El argumento para $\omega_1$, $\omega_2$ y es el mismo que el anterior y esto requeriría ninguna opción en absoluto.

Si un conjunto puede ser bien ordenado, bien... no tiene bien el pedido! Sin embargo, si suponemos el axioma de elección, entonces todo conjunto puede ser bien ordenado y va a través de los cardenales es suficiente. Para argumentar esta afirmación para todos los conjuntos es necesaria la plena axioma de elección.

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Por otro lado, si usted está interesado en los tipos de órdenes, en lugar de la mera órdenes de la afirmación de que hay $2^A$ muchos es en el hecho de afirmar la Generalizada Hipótesis continua, ya que para un conjunto de cardinalidad $\kappa$ sólo hay $\kappa^+$ muchos ordinales de cardinalidad $\kappa$, y por lo tanto sólo se $\kappa^+$ muchos tipos de orden.

Si o no $2^\kappa=\kappa^+$ está indeciso en ZFC.