No puedo pensar en una función lisa no constante que todos los números reales en números racionales.
¿Alguien puede dar un ejemplo sencillo? ¡El más simple, mejor!
Respuestas
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No. Incluso no es una función continua no constante $\mathbb R \rightarrow \mathbb Q$. Recordemos que una función continua mapas conjuntos conectados a sistemas conectados. Sabemos que $\mathbb R $ está conectado, pero $\mathbb Q$ es totalmente desconectado: cada punto es un componente conectado. Así cualquier continua mapa $\mathbb R \rightarrow \mathbb Q$ debe ser constante.
Johannes
Puntos
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Sin embargo, no se mencionan estas dos criaturas, como lo son en Teoría de grupos; quiero señalar algunos puntos acerca de ellos desde la Teoría del Grupo de puntos de vista. Sabemos que $G_1=(\mathbb Q,+)$ $G_2=(\mathbb R, +)$ son de ambos grupos y, por supuesto, abelian, yo.e; $x+y=y+x$. Además, en $G_1,G_2$, y para cada $n\in\mathbb N$ $a\in G_1~~\text{or}~~a\in G_2$ podemos encontrar algunos de $x\in G_1~~\text{or}~~\in G_2$ tales que la ecuación de $a=nx$ tiene al menos una solución (Divisibilidad). También ambos grupos son de torsión libre y así que ambos son espacios vectoriales sobre $\mathbb Q$. Si $G_1\cong\ G_2$, por lo que ambos deben tener las mismas dimensiones a lo largo de $\mathbb Q$. Pero esto no es cierto. Estos puntos muestran que los Racionales y los números Reales tienen otra diferencias.
