Deje $L\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N$ ser un inyectiva lineal mapa. Por el Cauchy-Binet fórmula, $\det(L^TL)$ es igual a la suma de los cuadrados de todos los menores de $L$ orden $n$: esto sólo se ve como una norma. También, la raíz cuadrada de este número tiene una interpretación geométrica como el factor de escala por el cual $L$ mapas de $n$-volúmenes, lo que hace que Grassmann exterior del producto vienen a la mente.
Pregunta Si dejamos $\Lambda^n(\mathbb{R}^N)$ denota el espacio vectorial generado por $n$-vectores
$$v_1\wedge \ldots \wedge v_n,\qquad v_j \in \mathbb{R}^N, $$
¿existe un producto escalar $\langle ,\rangle$ en que $$\det(L^TL)=\langle Le_1\wedge \ldots \wedge Le_n, Le_1\wedge \ldots \wedge Le_n\rangle ?^{(\star)}$$
Si la respuesta es afirmativa, este es el producto escalar geométricamente relacionado con el concepto de "orientado a $n$-volumen en $\mathbb{R}^N$"? Y finalmente, ¿es posible generalizar todo esto a una arbitraria de Riemann colector?
Referencias bibliográficas como las respuestas están bien. Gracias.
(*) $e_1\ldots e_n$ indica el estándar de la base de $\mathbb{R}^n$.
