Evaluación de $\int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{x^4\cos^3 x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}\right)dx$

Question

Evaluar

$$\displaystyle \int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{x^4\cos^3 x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}\right)dx$$

$\bf{My\; Try::}$

Dejemos que $$\begin{align}I &= \int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{x^4\cos^3 x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}\right)dx\\ &=\int e^{x\sin x+\cos x}\left(x^2\cos x+\frac{\cos x-x\sin x}{x^2\cos^2 x}\right)dx\\ &= \int x\cdot e^{x\sin x+\cos x}\left(x\cos x\right)dx+\int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{\cos x-x\sin x}{x^2\cos^2 x}\right)dx\\ \end{align}$$

Ahora dejemos $x\sin x+\cos x = t\;,$ Entonces $x\cos x\,dx = dt$ y la integración por partes para $\bf{1^{st}}$ Integral

Así que $$\displaystyle I = x\cdot e^{x\sin x+\cos x}-\int e^{x\sin x+\cos x}dx+\int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{\cos x-x\sin x}{x^2\cos^2 x}\right)dx$$

Ahora no entiendo cómo resolver después de eso.

Answer 1

Dejemos que $$\begin{align}I&= \int e^{x\sin x+\cos x}\left[\frac{x^4\cos^3 x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}\right]\mathrm d x\\ &= \int e^{x\sin x+\cos x}\left[\frac{\cos x - x \sin x + x^4 \cos^3 x}{x^2\cos^2x}\right]\mathrm d x\tag{1}\\ &=\int e^{x\sin x+\cos x} \left[ \frac{1}{x^2 \cos x} -\frac{\sin x}{x\cos ^2x}+x^2\cos x\right]\mathrm d x\tag{2}\\ &=\int e^{x\sin x+\cos x} \left[ \frac{1}{x^2 \cos x} -\frac{\sin x}{x\cos ^2x}+1+x^2\cos x-1\right]\mathrm dx\tag{3}\\ &=\int e^{x\sin x+\cos x} \left[ \left(\frac{1}{x^2 \cos x} -\frac{\sin x}{x\cos^2x}+1\right) +(x\cos x)\left(x-\frac{1}{x\cos x}\right)\right] \mathrm dx \tag{4} \\ \end{align}$$

Observe que

$$\frac{ \mathrm d }{ \mathrm d x }\left[x- \frac{1}{x\cos x}\right]=\frac{1} { x^2\cos x } -\frac{\sin x}{x\cos^2x}+1$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x\sin x+\cos x)=x\cos x$$ Ahora usa

$$\int e^t[ f ( t ) + f ' ( t ) ] \mathrm d t = e^t\cdot f(t ) +C$$

para conseguir

$$\int e^{x\sin x+\cos x}\left(\frac{x^4\cos^3 x-x\sin x+\cos x}{x^2\cos^2 x}\right)\mathrm d x=e^{x\sin x+\cos x}\left(x-\frac{1}{x\cos x}\right)+C$$

$\text{ Explanations }\\ 1 .\text{ Rearranging terms}\\ 2 .\text{ Seperating out terms}\\ 3 .\text{ Adding zero}\\ 4 .\text{ Grouping terms and factor }$

Answer 2

Por supuesto $\left( e^{x\sin x + \cos x}\right)' = x\cos x . e^{x\sin x + \cos x}$ . Pero en el integrando tenemos términos como $x^2\cos x.e^{...}$ . Así que vamos a intentar

$$\left(x e^{x\sin x + \cos x}\right)' = (x^2 \cos x + 1)e^{...}$$

Por lo tanto, la integral

$$I = x e^{x\sin x + \cos x} + \int e^{x\sin x + \cos x} \left( \frac{-\sin x}{x\cos^2 x} + \frac{1}{x^2\cos x} - 1 \right) \ dx$$

Si tenemos suerte, el integrando de esta nueva integral es exacto en tanto que es igual a $$\left( f(x) e^{x\sin x + \cos x} \right)' = e^{x\sin x + \cos x} \left( f'(x) + x\cos x . f(x) \right) $$

Basado en los dos primeros términos, algo así como $\displaystyle f(x) = -\frac{1}{x \cos x}$ parece un buen candidato. De hecho, eso funciona. De ahí que

$$I = e^{x\sin x + \cos x} \left( x - \frac{1}{x\cos x} \right) + C$$