El volumen en el grupo ortogonal es medido por la medida de Haar, que es la escala única medida que es invariante bajo el grupo de operación. Considero que el habitual métrica que es inducida por la norma espectral |M| = max |Mx| donde x rangos de todos los vectores de longitud 1 y el vector de norma es la distancia Euclídea. Un \delta-ball es el conjunto de todas las matrices ortogonales que han distancia menor o igual a \delta a un fijo de la matriz M. Debido a la invariancia de la medida de Haar, por un fijo \delta, todos los \delta-bolas tengan el mismo volumen.
Respuesta
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El volumen de la delta-bola de la especial ortogonal grupo puede ser calculada exactamente por la aplicación de la Weyl integración de la fórmula: (Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el delta-ball es de todo el grupo de la unidad de elemento).
una. Uno de los avisos (de Nuevo debido a la invariancia bajo la medida de Haar) que la función característica de la delta de bola es una función de clase. Así sobre la aplicación de la Weyl integración de la fórmula nos quedamos sólo con la parte radial de los autovalores que es un $\lfloor N/2\rfloor$-dimensión integral para $\mathrm{SO}(N)$. Aquí, la radial integral es descrito explícitamente.
b. Los autovalores de una matriz ortogonal de dimensión $N=2m+1$ $1$ $m$ pares de $\exp(i \phi_ m)$ y $\exp(-i \phi_ m)$, $0\leq\phi_ 1 \leq\ldots\leq\phi_m \leq\pi$. En el caso de las dimensiones, la unidad de autovalor está ausente.
c. El delta-ball en la condición de los autovalores se convierte en:
$$ |\exp(i\phi_k)-1|\leq\delta , $$ lo que implica: $$\phi_k\leq 2 \arcsin\sqrt{\delta/2}.$$
d. La aplicación de la Weyl integración de la fórmula, obtenemos para el extraño caso de $\mathrm{SO}(2m+1)$:
$$ \mathrm{Vol}(\delta\mathrm{-ball}) = \frac{2^{m^2}}{\pi^m m!} \int_{\phi_1\leq\ldots\leq\phi_m \leq 2 \arcsin\sqrt{\delta/2}} \prod_{1\leq j < k \leq m} (\cos\phi_k-\cos\phi_j)^2 \prod_l \sin^2(\phi_l) d\phi_1 \cdots d\phi_k. $$
e. Para el dimensional caso, los cambios sólo se $2^{m^2}$ es reemplazado $2^{(m-1)^2}$ y el seno términos están ausentes.
