Demostrar la convergencia de una serie.

Question

Vamos hay que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente la serie y $a_{i}$ no es negativo para todos los $i\in\mathbb{N}$.

Y quiero demostrar que esta serie es también convergente (dada la información anterior):

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2a_{n}+1}{(a_{n})^2+n^2}$.

Así que, yo estaba pensando que la transforman,cambiando su valor en grande y probar con la de "sandwich" de criterios, pero estoy atrapado en cómo transformar. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que desde $a_n\geq0$, por lo que fácilmente ha $$\frac{n^2a_n+1}{n^2+a_n^2}= \frac{n^2a_n+1}{n^2(1+a_n^2/n^2)}\leq\frac{n^2a_n+1}{n^2}=a_n+\frac{1}{n^2}.$$ Ahora sólo tiene que utilizar una prueba de comparación.