Existencia de la no-atómica probabilidad de medir

Question

La Pregunta

Deje $X$ ser un conjunto. Deje $\mathcal{F}\subseteq P(X)$ $\sigma$- álgebra. (O, si se hace una diferencia, vamos a $X$ ser un espacio topológico y $\mathcal{F}$ los conjuntos de Borel.) Cuando podemos garantizar la existencia y cómo podemos construir un no-atómica probabilidad de medida $\mu$$(X,\mathcal{F})$? (Además de ser una medida, pedimos que $\mu(X) = 1$ y que si $F\in\mathcal{F}$$\mu(F) \neq 0$, no existe un adecuado subconjunto medible $E\subsetneq F$ tal que $0 < \mu(E) < \mu(F)$.)

Algunas de las observaciones

El resultado de Sierpinski garantiza que $\mu$ realmente tiene en un continuo de valores diferentes. Así que, necesariamente, $\mathcal{F}$ tiene que ser innumerables y, por tanto, $P(X)$ tiene que ser incontables. Esto pone un límite inferior de muchos de los elementos que puede haber en $X$. (Y trivialmente se ve que el si $X$ es finito cualquier probabilidad de medida debe tener átomos.)

Espero, sin embargo, que puede haber otras condiciones necesarias para la existencia de un no-atómica probabilidad de medir.

En la suficiente lado, el único resultado que estoy familiarizado con la que explícitamente se construye una medida de las diversas construcciones de la medida de Lebesgue. Esta construcción hace uso de la estructura local de espacio Euclidiano y, por tanto, también funciona para, digamos, topológica de los colectores. (Bueno, también hay la ultrafilter construcción de aditivos medidas, pero mientras que la construcción de medidas de probabilidad, tienen un montón de átomos.)

Answer 1

Siguiente Willie Wong, la respuesta a su pregunta depende de la cardinalidad de a $X$. En el caso de $card(X)=c$ su pregunta no es única solución
en la teoría de la $(ZF)\&(DC)$$X=[0,1]$$\cal{F}=P[0,1]$, donde
$(ZF)$ denota la Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos y $(DC)$ denota el axioma de Dependiente de Decisiones.

En efecto, por un lado, en la consistencia de la teoría de $ZF \&DC \& AD$ donde $AD$ denota un Axioma de la Determinación, la respuesta a su pregunta es sí, porque Mycielski y Swierczkowski bien conocidos resultado afirma que cada subconjunto del eje real es Lebesgue medible. Por lo tanto la medida es exactamente la medida de Lebesgue en $[0.1]$.

Por otro lado, en la consistencia de la teoría de $ZF\& DC \& AC \& \omega_1=2^{\omega}$ por Ulam es bien conocido el resultado en el powerset de $\omega_1$ (correspondientemente, de $2^{\omega}$) no podemos definir una probabilidad a medida que se desvanece en los embarazos únicos.

Dado que ambas teorías son consistentes extensiones de la teoría de la $ZF\& DC$ podemos deducir que Willie Wong pregunta no es solucionable dentro de la teoría de la $ZF\&DC$$X=[0,1]$$\cal{F}=P[0,1]$.